- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
关于x的不等式kx2-6kx+k+8＞0的解集为R，则实数k的取值范围是______．
正确答案
0≤k＜1
解析
解：若k=0，则不等式等价为8＞0，满足条件，
若k≠0，要使不等式恒成立，则满足
即
则
综上0≤k＜1，
故答案为：0≤k＜1
解关于x的不等式：x2-（m+m2）x+m3＜0．
正确答案
解：方程x2-（m+m2）x+m3=0可化为
（x-m）（x-m2）=0，
解得x1=m，
∵二次函数的y=x2-（m+m2）x+m3图象开口向上，
∴①当m=0，1时，m=m2，原不等式的解集为∅； …（6分）
②当0＜m＜1时，m2＜m，原不等式的解集为{x|m2＜x＜m}； …（9分）
③当m＜0或m＞1时，m＜m2，原不等式的解集为{x|m＜x＜m2}．…（12分）
解析
解：方程x2-（m+m2）x+m3=0可化为
（x-m）（x-m2）=0，
解得x1=m，
∵二次函数的y=x2-（m+m2）x+m3图象开口向上，
∴①当m=0，1时，m=m2，原不等式的解集为∅； …（6分）
②当0＜m＜1时，m2＜m，原不等式的解集为{x|m2＜x＜m}； …（9分）
③当m＜0或m＞1时，m＜m2，原不等式的解集为{x|m＜x＜m2}．…（12分）
若关于x不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0恒成立，则a的取值范围是 ______．
正确答案
（-2，2]
解析
解：设f（x）=（a-2）x2+2（a-2）x-4，当a-2＞0即a＞2时，函数为开口向上的抛物线，显然不合题意；
当a-2=0即a=2时，不等式变为-4＜0，恒成立；
当a-2＜0即a＜2时，函数为开口向下的抛物线，要使（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0恒成立，
即要△＜0，即4（a-2）2+16（a-2）＜0，化简得：4（a+2）（a-2）＜0，解得：-2＜a＜2．
综上，使不等式恒成立的a的取值范围是（-2，2]．
故答案为：（-2，2]
不等式19x-3x2≥6的解集是______．
正确答案
[
解析
解：不等式19x-3x2≥6，可化为3x2-19x+6≤0，即（3x-1）（x-6）≤0，∴
∴其解集为
故答案为
不等式-x2-3x+4＞0的解集为______．（用区间表示）
正确答案
（-4，1）
解析
解：原不等式等价于x2+3x-4＜0，所以（x+4）（x-1）＜0，所以-4＜x＜1；
所以不等式的解集为（-4，1）；
故答案为：（-4，1）．
不等式（x-1）（1-2x）＞0的解集是______．
正确答案
解析
解：不等式（x-1）（1-2x）＞0，可化为（x-1）（2x-1）＜0
解得
故答案为：
已知不等式ax2-3ax+6＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}
（1）求a，b的值；
（2）解不等式：ax2-（2a+b）x+2b＜0．
正确答案
解：（1）因为不等式ax2-3ax+6＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，
所以1为方程ax2-3ax+6=0的一个根，则a-3a+6=0，
∴a=3，即3x2-9x+6＞0，解得x＜1或x＞3，∴
（2）由（1）知，3x2-8x+4＜0，
即（3x-2）（x-2）＜0，解得
所以不等式的解集为
解析
解：（1）因为不等式ax2-3ax+6＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，
所以1为方程ax2-3ax+6=0的一个根，则a-3a+6=0，
∴a=3，即3x2-9x+6＞0，解得x＜1或x＞3，∴
（2）由（1）知，3x2-8x+4＜0，
即（3x-2）（x-2）＜0，解得
所以不等式的解集为
关于x的不等式x2+mx+6＞0（m为常数）．
（1）如果m=-5，求不等式的解集；
（2）如果不等式的解集为{x|x＜1或x＞6}，求实数m的值．
正确答案
解：（1）由m=-5，得x2-5x+6＞0，即（x-2）（x-3）＞0．
解得x＜2或x＞3．（3分）
所以原不等式的解集为{x|x＜2或x＞3}．（4分）
（2）根据题意，得
解得m=-7．（8分）
解析
解：（1）由m=-5，得x2-5x+6＞0，即（x-2）（x-3）＞0．
解得x＜2或x＞3．（3分）
所以原不等式的解集为{x|x＜2或x＞3}．（4分）
（2）根据题意，得
解得m=-7．（8分）
已知集合A={x|-x2+4＞0}，集合B={x|x+1≥0且x＜0}
（1）化简A和B；
（2）求∁R（A∩B）．
正确答案
解：（1）∵-x2+4＞0，∴x2-4＜0，
即（x-2）（x+2）＜0，
解得-2＜x＜2，
∴A={x|-2＜x＜2}；
又∵x+1≥0且x＜0，
∴-1≤x＜0，
∴B={x|-1≤x＜0}；
（2）由（1）得，
A∩B={x|-2＜x＜2}∩{x|-1≤x＜0}={x|-1≤x＜0}，
∴CR（A∩B）={x|x＜-1或x≥0}．
解析
解：（1）∵-x2+4＞0，∴x2-4＜0，
即（x-2）（x+2）＜0，
解得-2＜x＜2，
∴A={x|-2＜x＜2}；
又∵x+1≥0且x＜0，
∴-1≤x＜0，
∴B={x|-1≤x＜0}；
（2）由（1）得，
A∩B={x|-2＜x＜2}∩{x|-1≤x＜0}={x|-1≤x＜0}，
∴CR（A∩B）={x|x＜-1或x≥0}．
不等式x2-3x+20＜0的解集为______．
正确答案
∅
解析
解：不等式x2-3x+20＜0对应的判别式
△=（-3）2-4×1×20=-79＜0；
∴方程x2-3x+20=0无实数根，
又函数y=x2-3x+20的图象开口向上，
∴该不等式的解集为∅．
故答案为：∅．
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