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题型:简答题
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简答题

已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,)∪(2,+∞),求关于x的不等式ax2-bx+c≤0的解集.

正确答案

由x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,)∪(2,+∞),得出:

∴ax2+ax+a≤0

∴x2+x+1≤0,

即x∈[-2,].

则不等式ax2-bx+c≤0的解集为:x∈[-2,].

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简答题

行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系:s=(n为常数,且n∈N),做了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其中

(1)求n的值;

(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少?

正确答案

解:(1)依题意得,解得

又n∈N,所以n=6;

(2)s=

因为v≥0,

所以0≤v≤60,

即行驶的最大速度为60 km/h。

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简答题

若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m,

(Ⅰ)若x2-1比1远离0,求x的取值范围;

(Ⅱ)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab

(Ⅲ)已知函数f(x)的定义域D={x|x≠,k∈Z,x∈R},任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).

正确答案

(Ⅰ)解:由题意得|x2-1|>1,x2-1<-1或x2-1>1,即x2<0或x2>2,

∴x的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞)。

(Ⅱ)证明:当a、b是不相等的正数时,

于是

∴a3+b3比a2b+ab2远离

(Ⅲ)解:若|sinx|>|cosx| ,即sin2x>cos2x,cos2x<0,

同理,若|cosx|>|sinx|,则

于是,函数f(x)的解析式是

函数f(x)的大致图象如下:

函数f(x)的最小正周期T=2π,函数f(x)是非奇非偶函数;

当x=2kπ或时,函数f(x)取得最大值1;

当x=2kπ+π或时,函数f(x)取得最小值-1;

函数f(x)在区间上单调递增;

在区间

上单调递减。

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简答题

设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m、n,都有f(m)·f(n)=f(m+n),且当x<0时,f(x)>1。

(1)证明:①f(0)=1;

②当x>0时,0<f(x)<1;

③f(x)是R上的减函数;

(2)设a∈R,试解关于x的不等式

正确答案

(1)证明:①在中,

令m=n=0,得,即

,则当x<0时,有,与题设矛盾,

②当x>0时,-x<0,由已知得f(-x)>1,

∴0<<1,

即x>0时,0<f(x)<1。

③任取,则

<0,

>1,又由①②及已知条件知>0,

,∴在定义域R上为减函数。

(2)解:

,f(x)在R上单调递减,

∴原不等式等价于≤0,

不等式可化为≤0,

当2<3a+1,即a>时,不等式的解集为{x|2≤x≤3a+1};

当2=3a+1,即a=时,≤0,不等式的解集为{2};

当2>3a+1,即a<时,不等式的解集为{x|3a+1≤x≤2}。

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简答题

已知向量=(mcosα,msinα)(m≠0),=(-sinβ,cosβ),其中O为坐标原点,

(1)若α=β+且m>0,求向量的夹角;

(2)若对任意实数α、β都成立,求实数m的取值范围.

正确答案

解:(1)设向量的夹角为θ(θ∈ [0,π]),

即向量的夹角为

(2)由题意得,=(-sinβ,cosβ)-( mcosα,msinα)=(-sinβ-mcosα,cosβ-msinα),

,即

得(mcosα+ sinβ)2+( msinα-cosβ)2≥4,

即m2+1+2msin(β-α)≥4对任意实数α,β恒成立,

解得m≤-3或m≥3,

故m的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞)。

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简答题

已知函数f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2x。

(1)解不等式:g(x)≥f(x)-|x-1|;

(2)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围;

(3)若g(x)≤m2-2mp+1对所有x∈R,p∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围。

正确答案

解:(1)g(x)≥f(x)-|x-1|-x2+2x≥x2+2x-|x-1|-2x2+|x-1|≥0,

解得:x∈[-1,]。

(2)h(x)=g(x)-λf(x)+1=-x2+2x-λ(x2+2x)+1=-(λ+1)x2+2(1-λ)x+1,在[-1,1]单调递增,

①λ+1=0,∴λ=-1时,h(x)=4x+1单调递增;

②λ+1≠0时,对轴称

 ,解得:λ<-1

,解得:-1<λ≤0,

∴λ≤0。

(3)g(x)=-x2+2x≤m2-2mp+1,对x∈R,p∈[-1,1]恒成立

m2-2mp+1≥(-x2+2x)max=-((x-1)2+1)max=1

m2-2mp≥0,

令f(p)=-2mp+m2

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简答题

求不等式组的解集.

正确答案

(4分)

⇒-<x≤1(1分)

∴解集是:(-,1](1分)

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简答题

解不等式:-2<x2-3x≤10.

正确答案

原不等式可化为

则由①变形得:(x-1)(x-2)>0,可化为,解得x>2或x<1;

由②变形得:(x-5)(x+2)≤0,可化为,解得-2≤x≤5,

所以原不等式的解集为:[-2,1)∪(2,5].

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简答题

已知a为非负实数,解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.

正确答案

(本题8分)

由a为非负实数,得到a=0或a>0,

(i)当a=0时,原不等式即为-x+1<0,

∴原不等式解集为(1,+∞);…(2分)

(ii)当a>0时,不等式变形为(x-1)(ax-1)<0,

∴不等式对应方程(x-1)(ax-1)=0的两根为1和

当0<a<1时,>1,原不等式解集为(1,);…(4分)

当a=1时,=1,原不等式解集为∅;…(6分)

当a>1时,<1,原不等式解集为(,1).…(8分)

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简答题

解不等式:≥2.

正确答案

不等式移项得:-2≥0,

变形得:≤0,

即2(x-)(x-6)(x-3)(x-5)≤0,且x≠3,x≠5,

根据题意画出图形,如图所示:

根据图形得:≤x<3或5<x≤6,

则原不等式的解集为[,3)∪(5,6].

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