- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,)∪(2,+∞),求关于x的不等式ax2-bx+c≤0的解集.
正确答案
由x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,)∪(2,+∞),得出:
∴
∴ax2+ax+a≤0
∴x2+x+1≤0,
即x∈[-2,].
则不等式ax2-bx+c≤0的解集为:x∈[-2,].
行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系:s=(n为常数,且n∈N),做了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其中
,
(1)求n的值;
(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少?
正确答案
解:(1)依题意得,解得
,
又n∈N,所以n=6;
(2)s=,
因为v≥0,
所以0≤v≤60,
即行驶的最大速度为60 km/h。
若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m,
(Ⅰ)若x2-1比1远离0,求x的取值范围;
(Ⅱ)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab;
(Ⅲ)已知函数f(x)的定义域D={x|x≠,k∈Z,x∈R},任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).
正确答案
(Ⅰ)解:由题意得|x2-1|>1,x2-1<-1或x2-1>1,即x2<0或x2>2,
∴x的取值范围是(-∞,-)∪(
,+∞)。
(Ⅱ)证明:当a、b是不相等的正数时,
,
又,
则,
于是,
∴a3+b3比a2b+ab2远离。
(Ⅲ)解:若|sinx|>|cosx| ,即sin2x>cos2x,cos2x<0,
;
同理,若|cosx|>|sinx|,则,
于是,函数f(x)的解析式是,
函数f(x)的大致图象如下:
函数f(x)的最小正周期T=2π,函数f(x)是非奇非偶函数;
当x=2kπ或时,函数f(x)取得最大值1;
当x=2kπ+π或时,函数f(x)取得最小值-1;
函数f(x)在区间上单调递增;
在区间
上单调递减。
设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m、n,都有f(m)·f(n)=f(m+n),且当x<0时,f(x)>1。
(1)证明:①f(0)=1;
②当x>0时,0<f(x)<1;
③f(x)是R上的减函数;
(2)设a∈R,试解关于x的不等式。
正确答案
(1)证明:①在中,
令m=n=0,得,即
,
∴或
,
若,则当x<0时,有
,与题设矛盾,
∴。
②当x>0时,-x<0,由已知得f(-x)>1,
又,
,
∴0<<1,
即x>0时,0<f(x)<1。
③任取,则
,
∵<0,
∴>1,又由①②及已知条件知
>0,
∴,∴
在定义域R上为减函数。
(2)解:
,
又,f(x)在R上单调递减,
∴原不等式等价于≤0,
不等式可化为≤0,
当2<3a+1,即a>时,不等式的解集为{x|2≤x≤3a+1};
当2=3a+1,即a=时,
≤0,不等式的解集为{2};
当2>3a+1,即a<时,不等式的解集为{x|3a+1≤x≤2}。
已知向量=(mcosα,msinα)(m≠0),
=(-sinβ,cosβ),其中O为坐标原点,
(1)若α=β+且m>0,求向量
与
的夹角;
(2)若对任意实数α、β都成立,求实数m的取值范围.
正确答案
解:(1)设向量与
的夹角为θ(θ∈ [0,π]),
则,
故,
即向量与
的夹角为
。
(2)由题意得,=(-sinβ,cosβ)-( mcosα,msinα)=(-sinβ-mcosα,cosβ-msinα),
由,即
,
得(mcosα+ sinβ)2+( msinα-cosβ)2≥4,
即m2+1+2msin(β-α)≥4对任意实数α,β恒成立,
则或
,
解得m≤-3或m≥3,
故m的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞)。
已知函数f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2x。
(1)解不等式:g(x)≥f(x)-|x-1|;
(2)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围;
(3)若g(x)≤m2-2mp+1对所有x∈R,p∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围。
正确答案
解:(1)g(x)≥f(x)-|x-1|-x2+2x≥x2+2x-|x-1|
-2x2+|x-1|≥0,
或
,
解得:x∈[-1,]。
(2)h(x)=g(x)-λf(x)+1=-x2+2x-λ(x2+2x)+1=-(λ+1)x2+2(1-λ)x+1,在[-1,1]单调递增,
①λ+1=0,∴λ=-1时,h(x)=4x+1单调递增;
②λ+1≠0时,对轴称,
,解得:λ<-1
或,解得:-1<λ≤0,
∴λ≤0。
(3)g(x)=-x2+2x≤m2-2mp+1,对x∈R,p∈[-1,1]恒成立
m2-2mp+1≥(-x2+2x)max=-((x-1)2+1)max=1
m2-2mp≥0,
令f(p)=-2mp+m2,
则或
,
∴。
求不等式组的解集.
正确答案
∵⇒
(4分)
⇒-<x≤1(1分)
∴解集是:(-,1](1分)
解不等式:-2<x2-3x≤10.
正确答案
原不等式可化为,
则由①变形得:(x-1)(x-2)>0,可化为或
,解得x>2或x<1;
由②变形得:(x-5)(x+2)≤0,可化为或
,解得-2≤x≤5,
所以原不等式的解集为:[-2,1)∪(2,5].
已知a为非负实数,解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
正确答案
(本题8分)
由a为非负实数,得到a=0或a>0,
(i)当a=0时,原不等式即为-x+1<0,
∴原不等式解集为(1,+∞);…(2分)
(ii)当a>0时,不等式变形为(x-1)(ax-1)<0,
∴不等式对应方程(x-1)(ax-1)=0的两根为1和,
当0<a<1时,>1,原不等式解集为(1,
);…(4分)
当a=1时,=1,原不等式解集为∅;…(6分)
当a>1时,<1,原不等式解集为(
,1).…(8分)
解不等式:≥2.
正确答案
不等式移项得:-2≥0,
变形得:≤0,
即2(x-)(x-6)(x-3)(x-5)≤0,且x≠3,x≠5,
根据题意画出图形,如图所示:
根据图形得:≤x<3或5<x≤6,
则原不等式的解集为[,3)∪(5,6].
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