- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
2x2+5x-3＜0的解集为______．
正确答案
{x|-3＜x＜
解析
解：∵方程2x2+5x-3=0的实数解是
x1=-3、x2=
∴不等式2x2+5x-3＜0的解集为
{x|-3＜x＜
故答案为：{x|-3＜x＜
不等式6x2-x-1≤0的解集是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：不等式6x2-x-1≤0可化为
（2x-1）（3x+1）≤0，
且该不等式对应方程的两个实数根为
所以，该不等式的解集为[-
故选：C．
已知集合A={x|x2-2ax-8a2≤0}．
（Ⅰ）当a=1时，求集合∁RA；
（Ⅱ）若a＞0，且（-1，1）⊆A，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）当a=1时，x2-2ax-8a2≤0化为x2-2x-8≤0，
解得：-2≤x≤4．
∴A={x|-2≤x≤4}．
∁RA={x|x＜-2或x＞4}；
（Ⅱ）由|x2-2ax-8a2≤0，且a＞0，得-2a≤x≤4a．
∴A={x|-2a≤x≤4a}．
由（-1，1）⊆A，得
∴实数a的取值范围是
解析
解：（Ⅰ）当a=1时，x2-2ax-8a2≤0化为x2-2x-8≤0，
解得：-2≤x≤4．
∴A={x|-2≤x≤4}．
∁RA={x|x＜-2或x＞4}；
（Ⅱ）由|x2-2ax-8a2≤0，且a＞0，得-2a≤x≤4a．
∴A={x|-2a≤x≤4a}．
由（-1，1）⊆A，得
∴实数a的取值范围是
解不等式：x2-3ax+（a+1）（2a-1）＞0．
正确答案
解：x2-3ax+（a+1）（2a-1）＞0，
即为（x-a-1）（x-2a+1）＞0，
当a=2时，不等式即为（x-3）2＞0，解得x≠3；
当a＞2时，a+1＜2a-1，解得，x＞2a-1或x＜a+1，
当a＜2时，a+1＞2a-1，解得，x＜2a-1或x＞a+1，
综上，当a=2时，解集为{x|x≠3，且x∈R}；
当a＞2时，解集为{x|x＞2a-1或x＜a+1}；
当a＜2时，解集为{x|x＜2a-1或x＞a+1}．
解析
解：x2-3ax+（a+1）（2a-1）＞0，
即为（x-a-1）（x-2a+1）＞0，
当a=2时，不等式即为（x-3）2＞0，解得x≠3；
当a＞2时，a+1＜2a-1，解得，x＞2a-1或x＜a+1，
当a＜2时，a+1＞2a-1，解得，x＜2a-1或x＞a+1，
综上，当a=2时，解集为{x|x≠3，且x∈R}；
当a＞2时，解集为{x|x＞2a-1或x＜a+1}；
当a＜2时，解集为{x|x＜2a-1或x＞a+1}．
不等式-2x2+x＞-3的解集是______．
正确答案
{x|
解析
解：不等式-2x2+x＞-3化为2x2-x-3＜0，变为（2x-3）（x+1）＜0，解得
∴不等式-2x2+x＞-3的解集是{x|
故答案为：{x|
不等式（x+1）（x-2）＜0的解集为（ ）
正确答案
解析
解：∵（x+1）（x-2）＜0，
∴-1＜x＜2，
∴原不等式的解集为{x|-1＜x＜2}．
故选D．
（2015秋•沈阳期末）已知函数f（x）=x2+ax+4
（Ⅰ）当a=-5时，解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）a=5时，不等式f（x）＞0为x2+5x+4＞0，
可化为（x+4）（x+1）＞0，
解得x＜-4或x＞-1，
∴该不等式的解集为（-∞，-4）∪（-1，+∞）；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0的解集为R，
即x2+ax+4＞0的解集为R；
∴△=a2-16＜0，
解得-4＜a＜4，
∴实数a的取值范围是（-4，4）．
解析
解：（Ⅰ）a=5时，不等式f（x）＞0为x2+5x+4＞0，
可化为（x+4）（x+1）＞0，
解得x＜-4或x＞-1，
∴该不等式的解集为（-∞，-4）∪（-1，+∞）；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0的解集为R，
即x2+ax+4＞0的解集为R；
∴△=a2-16＜0，
解得-4＜a＜4，
∴实数a的取值范围是（-4，4）．
已知函数f（x）=-2x2-2x-1，请问是否存在正整数t，使得x∈[-1，1]时f（x）≤t恒成立．
正确答案
解：函数f（x）=-2x2-2x-1=
∵x∈[-1，1]，∴当x=
∵x∈[-1，1]时f（x）≤t恒成立．
∴
∴只要取t≥1，t∈N，x∈[-1，1]时f（x）≤t恒成立．
解析
解：函数f（x）=-2x2-2x-1=
∵x∈[-1，1]，∴当x=
∵x∈[-1，1]时f（x）≤t恒成立．
∴
∴只要取t≥1，t∈N，x∈[-1，1]时f（x）≤t恒成立．
不等式x（1-x）≥-2的解集为______．
正确答案
[-1，2]
解析
解：不等式x（1-x）≥-2化为x2-x-2≤0，即（x-2）（x+1）≤0，
∴-1≤x≤2．
∴不等式x（1-x）≥-2的解集为[-1，2]．
故答案为：[-1，2]．
（1）解不等式x2-2x＞3．
（2）若a＞0、b＞0、a≠b，试比较2（a3+b3）与（a+b）（a2+b2）的大小．
正确答案
解：（1）原不等式化为（x-3）（x+1）＞0，∴解集为{x|x＞3或x＜-1}；
（2）作差2（a3+b3）-（a+b）（a2+b2）=2（a+b）（a2-ab+b2）-（a+b）（a2+b2）=（a+b）[2（a2-ab+b2）-（a2+b2）]
=（a+b）（a-b）2，∵a＞0、b＞0、a≠b，∴（a+b）（a-b）2＞0，
∴2（a3+b3）＞（a+b）（a2+b2）．
解析
解：（1）原不等式化为（x-3）（x+1）＞0，∴解集为{x|x＞3或x＜-1}；
（2）作差2（a3+b3）-（a+b）（a2+b2）=2（a+b）（a2-ab+b2）-（a+b）（a2+b2）=（a+b）[2（a2-ab+b2）-（a2+b2）]
=（a+b）（a-b）2，∵a＞0、b＞0、a≠b，∴（a+b）（a-b）2＞0，
∴2（a3+b3）＞（a+b）（a2+b2）．
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