- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知不等式ax2+2ax+1≥0对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是______.
正确答案
[0,1]
解析
解:①当a=0时,1≥0恒成立,因此a=0适合;
②a≠0时,要使不等式ax2+2ax+1≥0对一切x∈R恒成立,则,解得0<a≤1.
综上可知:a的取值范围是[0,1].
故答案为[0,1].
不等式2x2-x≤1的解集为( )
正确答案
解析
解:2x2-x≤1可化为2x2-x-1≤0,解得,
故选A.
(2015秋•和平区期末)若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤1或x≥2},则点P(b,c)的轨迹是( )
正确答案
解析
解:由题意知,x=1和x=2是方程ax2+bx+c=0的两实数根,且a<0,
由韦达定理得,
解得,
消去a,得c=-b(b>0),
∴点P(b,c)的轨迹是斜率为-的射线,且不包括端点.
故选:C.
已知关于x的不等式x2-(3a+1)x+2a(a+1)<0的解集是A,函数的定义域是B,若A⊆B.求实数a的取值范围.
正确答案
解:原表达式可化为:(x-2a)(x-a-1)<0,
∴对应方程的根为:x1=2a,x2=a+1…(2分)
(1)当a>1时,2a>a+1,所以A=(a+1,2a),B=(-1,2),
∵A⊆B∴…(7分)
(2)当a<1时,2a<a+1,所以A=(2a,a+1),B=(-1,2),
∵A⊆B∴…(12分)
(3)当a=1时,A=ϕ满足A⊆B
综合上述:…(13分)
解析
解:原表达式可化为:(x-2a)(x-a-1)<0,
∴对应方程的根为:x1=2a,x2=a+1…(2分)
(1)当a>1时,2a>a+1,所以A=(a+1,2a),B=(-1,2),
∵A⊆B∴…(7分)
(2)当a<1时,2a<a+1,所以A=(2a,a+1),B=(-1,2),
∵A⊆B∴…(12分)
(3)当a=1时,A=ϕ满足A⊆B
综合上述:…(13分)
在R上定义运算⨂:x⨂y=,若关于x的不等式x⨂(x+1-a)>0的解集是{x|-2≤x≤2,x∈R}的子集,则实数a的取值范围是( )
正确答案
解析
解:由运算⨂,关于x的不等式x⨂(x+1-a)>0化为,化为x(x-a-1)<0,
①当a+1>0时,其解集是{x|0<x<a+1},由于其解集是{x|-2≤x≤2,x∈R}的子集,∴a+1≤2,解得a≤1,∴-1<a≤1.
②当a+1<0时,其解集是{x|a+1<x<0},由于其解集是{x|-2≤x≤2,x∈R}的子集,∴a+1≥-2,解得a≥-3,∴-3≤a<-1.
③当a+1=0时,其解集是∅,由于其解集是{x|-2≤x≤2,x∈R}的子集,∴a+1=0,解得a=-1
综上可知:.实数a的取值范围是[-3,1].
故选D.
已知函数f(x)=x2+(lga+2)x+lgb满足f(-1)=-2且对于任意x∈R,恒有f(x)≥2x成立.
(1)求实数a,b的值;
(2)解不等式f(x)<x+5.
正确答案
解(1)由f(-1)=-2知,lgb-lga+1=0①,所以②.
又f(x)≥2x恒成立,f(x)-2x≥0恒成立,
则有x2+x•lga+lgb≥0恒成立,
故△=(lga)2-4lgb≤0,
将①式代入上式得:(lgb)2-2lgb+1≤0,即(lgb-1)2≤0,
故lgb=1即b=10,代入②得,a=100;
(2)由(1)知f(x)=x2+4x+1,f(x)<x+5,
即x2+4x+1<x+5,
所以x2+3x-4<0,
解得-4<x<1,
因此不等式的解集为{x|-4<x<1}.
解析
解(1)由f(-1)=-2知,lgb-lga+1=0①,所以②.
又f(x)≥2x恒成立,f(x)-2x≥0恒成立,
则有x2+x•lga+lgb≥0恒成立,
故△=(lga)2-4lgb≤0,
将①式代入上式得:(lgb)2-2lgb+1≤0,即(lgb-1)2≤0,
故lgb=1即b=10,代入②得,a=100;
(2)由(1)知f(x)=x2+4x+1,f(x)<x+5,
即x2+4x+1<x+5,
所以x2+3x-4<0,
解得-4<x<1,
因此不等式的解集为{x|-4<x<1}.
(Ⅰ)关于x的不等式(m+3)x2-(m+3)x-1<0的解集为R,求实数m的取值范围;
(Ⅱ) 关于x的不等式x2+ax+4>0的解集为{x|x≠b},求a,b的值.
正确答案
解:(Ⅰ)关于x的不等式(m+3)x2-(m+3)x-1<0的解集为R,
所以①,
即,
解得-7<m<-3;
②m=-3时,不等式化为-1<0恒成立,也符合题意;
所以实数m的取值范围是:-7<m≤-3;…(5分)
(Ⅱ) 关于x的不等式x2+ax+4>0的解集为{x|x≠b},
所以二次函数y=x2+ax+4=(x±2)2,
所以a=4时,b=-2;
或a=-4时,b=2.…(10分)
解析
解:(Ⅰ)关于x的不等式(m+3)x2-(m+3)x-1<0的解集为R,
所以①,
即,
解得-7<m<-3;
②m=-3时,不等式化为-1<0恒成立,也符合题意;
所以实数m的取值范围是:-7<m≤-3;…(5分)
(Ⅱ) 关于x的不等式x2+ax+4>0的解集为{x|x≠b},
所以二次函数y=x2+ax+4=(x±2)2,
所以a=4时,b=-2;
或a=-4时,b=2.…(10分)
若不等式kx2+(k+1)x>x2+2x+3的解集为R,则k的范围是______.
正确答案
(1,11)
解析
解:①当k=1时,原不等式可化为0>3,矛盾,故舍去;
②当k≠1时,原不等式可化为(k-1)x2+(k-1)x-3>0,
∵此不等式的解集为R,∴,
解得1<k<11.
故答案为(1,11).
不等式x2-2x>0的解集是______.
正确答案
{x|x<0或x>2}
解析
解:不等式x2-2x>0可化为
x(x-2)>0,
解得x<0或x>2;
∴不等式的解集为{x|x<0或x>2}.
故答案为:{x|x<0或x>2}.
解关于x的不等式10≤x2-3x+6<24.
正确答案
解:不等式10≤x2-3x+6<24可化为
,
由①得,x2-3x-4≥0,
解得x≤-1或x≥4;
由②得,x2-3x-18<0,
解得-3<x<6;
综上,-3<x≤-1或4≤x<6,
∴原不等式的解集为{x|-3<x≤-1或4≤x<6}.
解析
解:不等式10≤x2-3x+6<24可化为
,
由①得,x2-3x-4≥0,
解得x≤-1或x≥4;
由②得,x2-3x-18<0,
解得-3<x<6;
综上,-3<x≤-1或4≤x<6,
∴原不等式的解集为{x|-3<x≤-1或4≤x<6}.
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