- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知不等式ax2+2ax+1≥0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是______．
正确答案
[0，1]
解析
解：①当a=0时，1≥0恒成立，因此a=0适合；
②a≠0时，要使不等式ax2+2ax+1≥0对一切x∈R恒成立，则
综上可知：a的取值范围是[0，1]．
故答案为[0，1]．
不等式2x2-x≤1的解集为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：2x2-x≤1可化为2x2-x-1≤0，解得
故选A．
（2015秋•和平区期末）若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤1或x≥2}，则点P（b，c）的轨迹是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意知，x=1和x=2是方程ax2+bx+c=0的两实数根，且a＜0，
由韦达定理得
解得
消去a，得c=-
∴点P（b，c）的轨迹是斜率为-
故选：C．
已知关于x的不等式x2-（3a+1）x+2a（a+1）＜0的解集是A，函数
正确答案
解：原表达式可化为：（x-2a）（x-a-1）＜0，
∴对应方程的根为：x1=2a，x2=a+1…（2分）
（1）当a＞1时，2a＞a+1，所以A=（a+1，2a），B=（-1，2），
∵A⊆B∴
（2）当a＜1时，2a＜a+1，所以A=（2a，a+1），B=（-1，2），
∵A⊆B∴
（3）当a=1时，A=ϕ满足A⊆B
综合上述：
解析
解：原表达式可化为：（x-2a）（x-a-1）＜0，
∴对应方程的根为：x1=2a，x2=a+1…（2分）
（1）当a＞1时，2a＞a+1，所以A=（a+1，2a），B=（-1，2），
∵A⊆B∴
（2）当a＜1时，2a＜a+1，所以A=（2a，a+1），B=（-1，2），
∵A⊆B∴
（3）当a=1时，A=ϕ满足A⊆B
综合上述：
在R上定义运算⨂：x⨂y=
正确答案
解析
解：由运算⨂，关于x的不等式x⨂（x+1-a）＞0化为
①当a+1＞0时，其解集是{x|0＜x＜a+1}，由于其解集是{x|-2≤x≤2，x∈R}的子集，∴a+1≤2，解得a≤1，∴-1＜a≤1．
②当a+1＜0时，其解集是{x|a+1＜x＜0}，由于其解集是{x|-2≤x≤2，x∈R}的子集，∴a+1≥-2，解得a≥-3，∴-3≤a＜-1．
③当a+1=0时，其解集是∅，由于其解集是{x|-2≤x≤2，x∈R}的子集，∴a+1=0，解得a=-1
综上可知：．实数a的取值范围是[-3，1]．
故选D．
已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式f（x）＜x+5．
正确答案
解（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，所以
又f（x）≥2x恒成立，f（x）-2x≥0恒成立，
则有x2+x•lga+lgb≥0恒成立，
故△=（lga）2-4lgb≤0，
将①式代入上式得：（lgb）2-2lgb+1≤0，即（lgb-1）2≤0，
故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；
（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，
即x2+4x+1＜x+5，
所以x2+3x-4＜0，
解得-4＜x＜1，
因此不等式的解集为{x|-4＜x＜1}．
解析
解（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，所以
又f（x）≥2x恒成立，f（x）-2x≥0恒成立，
则有x2+x•lga+lgb≥0恒成立，
故△=（lga）2-4lgb≤0，
将①式代入上式得：（lgb）2-2lgb+1≤0，即（lgb-1）2≤0，
故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；
（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，
即x2+4x+1＜x+5，
所以x2+3x-4＜0，
解得-4＜x＜1，
因此不等式的解集为{x|-4＜x＜1}．
（Ⅰ）关于x的不等式（m+3）x2-（m+3）x-1＜0的解集为R，求实数m的取值范围；
（Ⅱ） 关于x的不等式x2+ax+4＞0的解集为{x|x≠b}，求a，b的值．
正确答案
解：（Ⅰ）关于x的不等式（m+3）x2-（m+3）x-1＜0的解集为R，
所以①
即
解得-7＜m＜-3；
②m=-3时，不等式化为-1＜0恒成立，也符合题意；
所以实数m的取值范围是：-7＜m≤-3；…（5分）
（Ⅱ） 关于x的不等式x2+ax+4＞0的解集为{x|x≠b}，
所以二次函数y=x2+ax+4=（x±2）2，
所以a=4时，b=-2；
或a=-4时，b=2．…（10分）
解析
解：（Ⅰ）关于x的不等式（m+3）x2-（m+3）x-1＜0的解集为R，
所以①
即
解得-7＜m＜-3；
②m=-3时，不等式化为-1＜0恒成立，也符合题意；
所以实数m的取值范围是：-7＜m≤-3；…（5分）
（Ⅱ） 关于x的不等式x2+ax+4＞0的解集为{x|x≠b}，
所以二次函数y=x2+ax+4=（x±2）2，
所以a=4时，b=-2；
或a=-4时，b=2．…（10分）
若不等式kx2+（k+1）x＞x2+2x+3的解集为R，则k的范围是______．
正确答案
（1，11）
解析
解：①当k=1时，原不等式可化为0＞3，矛盾，故舍去；
②当k≠1时，原不等式可化为（k-1）x2+（k-1）x-3＞0，
∵此不等式的解集为R，∴
解得1＜k＜11．
故答案为（1，11）．
不等式x2-2x＞0的解集是______．
正确答案
{x|x＜0或x＞2}
解析
解：不等式x2-2x＞0可化为
x（x-2）＞0，
解得x＜0或x＞2；
∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞2}．
故答案为：{x|x＜0或x＞2}．
解关于x的不等式10≤x2-3x+6＜24．
正确答案
解：不等式10≤x2-3x+6＜24可化为
由①得，x2-3x-4≥0，
解得x≤-1或x≥4；
由②得，x2-3x-18＜0，
解得-3＜x＜6；
综上，-3＜x≤-1或4≤x＜6，
∴原不等式的解集为{x|-3＜x≤-1或4≤x＜6}．
解析
解：不等式10≤x2-3x+6＜24可化为
由①得，x2-3x-4≥0，
解得x≤-1或x≥4；
由②得，x2-3x-18＜0，
解得-3＜x＜6；
综上，-3＜x≤-1或4≤x＜6，
∴原不等式的解集为{x|-3＜x≤-1或4≤x＜6}．
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