- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
在关于x的不等式x2-（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：关于x的不等式x2-（a+1）x+a＜0可化为
（x-1）（x-a）＜0，
当a＞1时，解不等式得1＜x＜a；
当a＜1时，解不等式得a＜x＜1；
∵不等式的解集中恰有两个整数，∴3＜a≤4或-2≤a＜-1，
∴a的取值范围是[-2，-1）∪（3，4]．
故选：D．
解关于x的不等式ax2-[a（a-2）+3]x+3（a-2）＜0（a＞0）
正确答案
解：a＞0时，关于x的不等式ax2-[a（a-2）+3]x+3（a-2）＜0可化为
（ax-3）[x-（a-2）]＜0，
即（x-
该不等式对应的方程有两个实数根为
令
①当a=3时，
②当a＞3时，
③当0＜a＜3时，
解析
解：a＞0时，关于x的不等式ax2-[a（a-2）+3]x+3（a-2）＜0可化为
（ax-3）[x-（a-2）]＜0，
即（x-
该不等式对应的方程有两个实数根为
令
①当a=3时，
②当a＞3时，
③当0＜a＜3时，
（2016•榆林一模）集合A={x|x2-2x≤0}，B={x|y=lg（1-x）}，则A∩B等于（ ）
正确答案
解析
解：集合A={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lg（1-x）}={x|x＜1}，
所以集合A∩B={x|0≤x＜1}．
故选：B．
解关于x的不等式：ax2-2（a+1）x+4＜0．
正确答案
解：不等式ax2-2（a+1）x+4＜0可化为
（ax-2）（x-2）＜0，
∴①a=0时，不等式为-2（x-2）＜0，解得x＞2，∴不等式的解集为{x|x＞2}；
②a＜0时，不等式为（x-
③0＜a＜1时，不等式为（x-
④a=1时，不等式为（x-2）2＜0，解得x∈∅，∴不等式的解集为∅；
⑤a＞1时，不等式为（x-
解析
解：不等式ax2-2（a+1）x+4＜0可化为
（ax-2）（x-2）＜0，
∴①a=0时，不等式为-2（x-2）＜0，解得x＞2，∴不等式的解集为{x|x＞2}；
②a＜0时，不等式为（x-
③0＜a＜1时，不等式为（x-
④a=1时，不等式为（x-2）2＜0，解得x∈∅，∴不等式的解集为∅；
⑤a＞1时，不等式为（x-
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的单调区间．
正确答案
解：根据题意，得；
一元二次不等式f（x）＞-2x，
即f（x）+2x＞0的解集为（1，3），
∴不等式x2-（1+3）x+1×3＜0，
即x2-4x+3＜0；
∴f（x）+2x=-k（x2-4x+3），k＞0
∴f（x）=-kx2+（4k-2）x-3k，a=-k；
∴方程f（x）+6a=0化为
-kx2+（4k-2）x-9k=0，它有两个相等的实根，
∴△=（4k-2）2-36k2=0，
解得k=
∴f（x）=-
∴二次函数f（x）的单调增区间是（-∞，-3]，
单调减区间是[-3，+∞）．
解析
解：根据题意，得；
一元二次不等式f（x）＞-2x，
即f（x）+2x＞0的解集为（1，3），
∴不等式x2-（1+3）x+1×3＜0，
即x2-4x+3＜0；
∴f（x）+2x=-k（x2-4x+3），k＞0
∴f（x）=-kx2+（4k-2）x-3k，a=-k；
∴方程f（x）+6a=0化为
-kx2+（4k-2）x-9k=0，它有两个相等的实根，
∴△=（4k-2）2-36k2=0，
解得k=
∴f（x）=-
∴二次函数f（x）的单调增区间是（-∞，-3]，
单调减区间是[-3，+∞）．
若不等式ax2+2x+c＞0（a≠0）的解集为{x|-2＜x＜4}，则a+c=______．
正确答案
7
解析
解：∵不等式ax2+2x+c＞0（a≠0）的解集为{x|-2＜x＜4}，
∴一元二次方程ax2+2x+c=0（a＜0）的两个实数根为-2，4；
∴
解得a=-1，c=8；
∴a+c=-1+8=7；
故答案为：7．
关于x的不等式x2-x-5＞3x的解集是______．
正确答案
{x|x＞5或x＜-1}
解析
解：不等式x2-x-5＞3x化为：x2-4x-5＜0，解得x＞5或x＜-1．
所以不等式的解集为：{x|x＞5或x＜-1}；
故答案为{x|x＞5或x＜-1}．
解不等式：
（1）9x2+1≥6x
（2）-x2+
正确答案
解：（1）9x2+1≥6x⇔9x2-6x+1≥0⇔（3x-1）2≥0，解得x∈R；
（2））-x2+
解析
解：（1）9x2+1≥6x⇔9x2-6x+1≥0⇔（3x-1）2≥0，解得x∈R；
（2））-x2+
已知α∈R，且α≠0，α≠1，解关于x的不等式x2-（a+a2）x+a3＞0．
正确答案
解：不等式x2-（a+a2）x+a3＞0可化为
（x-a2）（x-a）＞0，
对应方程（x-a2）（x-a）=0的两个实数根为a2和a，
且a≠0，a≠1；
∴当a＜0时，a2＞a，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＞1时，a2＞a，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
综上，a＜0时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}，
0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}，
a＞1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}．
解析
解：不等式x2-（a+a2）x+a3＞0可化为
（x-a2）（x-a）＞0，
对应方程（x-a2）（x-a）=0的两个实数根为a2和a，
且a≠0，a≠1；
∴当a＜0时，a2＞a，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＞1时，a2＞a，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
综上，a＜0时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}，
0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}，
a＞1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}．
解关 于x的 不 等 式：
（1）若 解 集 为 {x|x＞3}，求k的值．
（2）若x=3在 解 集 中，求k的 取 值 范 围．
正确答案
解：原不等式可化为：
∴原不等式等价于kx+2k＞k2+x-3，即（k-1）x＞k2-2k-3，当k＞1时，x＞
当k＜1时，x＜
（1）依题意得：
（2）依题意得：
解得 0＜k＜5．
解析
解：原不等式可化为：
∴原不等式等价于kx+2k＞k2+x-3，即（k-1）x＞k2-2k-3，当k＞1时，x＞
当k＜1时，x＜
（1）依题意得：
（2）依题意得：
解得 0＜k＜5．
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