- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
若不等式x2+ax+1≥0对一切
A（-∞，0）
B（-∞，-2]
C
D[-2，+∞）
正确答案
解析
解：∵不等式x2+ax+1≥0对一切
∴函数f（x）=x2+ax+1在区间（0，
而函数f（x）=x2+ax+1的图象是一条开口向上的抛物线，
其对称轴为x=
①当x=
∴函数f（x）的最小值大于f（0）=1≥0，符合题意．此时a≥0；
②当x=
函数f（x）的最小值为f（
∴-
③当x=
∴函数f（x）的最小值f（
因此-
综上所述，得实数a的取值范围是：a≥-
故选C
对于一切实数x不等式ax2+ax-2≤0恒成立，则a的取值范围为（ ）
正确答案
解析
解：当a＞0时，显然不能满足对于一切实数x不等式ax2+ax-2≤0恒成立．
当a=0时，对于一切实数x不等式ax2+ax-2≤0恒成立．
当a＜0时，∵于一切实数x不等式ax2+ax-2≤0恒成立，∴△=a2+8a≤0，a≠0，
解得-8≤a＜0．
综上可得，-8≤a≤0，
故选B．
（2015秋•珠海期末）已知f（x）=-3x2+a（6-a）x+6．
（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（-1，3），求实数a，b的值．
正确答案
解：（Ⅰ）∵f（x）=-3x2+a（6-a）x+6，f（1）＞0
∴-3+a（6-a）+6＞0
∴a2-6a-3＜0
∴
∴不等式的解集为
（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（-1，3），
∴-3x2+a（6-a）x+6＞b的解集为（-1，3），
∴-1，3是方程3x2-a（6-a）x-6+b=0的两个根
∴
∴
解析
解：（Ⅰ）∵f（x）=-3x2+a（6-a）x+6，f（1）＞0
∴-3+a（6-a）+6＞0
∴a2-6a-3＜0
∴
∴不等式的解集为
（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（-1，3），
∴-3x2+a（6-a）x+6＞b的解集为（-1，3），
∴-1，3是方程3x2-a（6-a）x-6+b=0的两个根
∴
∴
若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为
正确答案
解：由题意得：a＜0，
不等式cx2+bx+a＞0可化为：
即
化简得（x-3）（x-2）＞0，
解得：x＞3或x＜2．
∴所求不等式的解集为{x|x＜2或x＞3}．
解析
解：由题意得：a＜0，
不等式cx2+bx+a＞0可化为：
即
化简得（x-3）（x-2）＞0，
解得：x＞3或x＜2．
∴所求不等式的解集为{x|x＜2或x＞3}．
对于区间[a，b]（或（a，b）、[a，b）、（a，b]），我们定义|b-a|为该区间的长度，特别地，[a，+∞）和（-∞，b]的区间长度为正无穷大．
（1）关于x的不等式ax2+（2a-1）x-2≤0的解集的区间长度不小于4，求实数a的取值范围；
（2）关于x的不等式（x2-2x-24）[x2-（2m+6）x+（m2+6m）]＜0恰好有3个整数解，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）a=0时，解集为[-2，+∞）符合要求；
a＞0时，解集为[-2，
a＜0时，令
∴实数a的取值范围是（-∞，
（2）不等式（x2-2x-24）[x2-（2m+6）x+（m2+6m）]＜0为（x-6）（x+4）（x-m）（x-m-6）＜0，
∵关于x的不等式（x2-2x-24）[x2-（2m+6）x+（m2+6m）]＜0恰好有3个整数解，
∴m=-4或m=0，或-3＜m＜-2，或-2＜m＜-1．
解析
解：（1）a=0时，解集为[-2，+∞）符合要求；
a＞0时，解集为[-2，
a＜0时，令
∴实数a的取值范围是（-∞，
（2）不等式（x2-2x-24）[x2-（2m+6）x+（m2+6m）]＜0为（x-6）（x+4）（x-m）（x-m-6）＜0，
∵关于x的不等式（x2-2x-24）[x2-（2m+6）x+（m2+6m）]＜0恰好有3个整数解，
∴m=-4或m=0，或-3＜m＜-2，或-2＜m＜-1．
若不等式 
正确答案
-4＜m≤0
解析
解：∵x2-8x+20=（x-4）2+4＞0，
∴不等式 
若m=0，不等式等价为-1＜0，满足条件，
若m≠0，则等价为
即
解得-4＜m＜0，
综上-4＜m≤0，
故答案为：-4＜m≤0．
已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为______．
正确答案
16
解析
解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴函数的最小值为0，可得△=a2-4b=0，即b=
又∵关于x的不等式f（x）＜c可化成x2+ax+b-c＜0，即x2+ax+
∴不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），也就是
方程x2+ax+
∴
即（-a）2-4（
故答案为：16
若函数f（x）=
正确答案
{k丨-
解析
解：∵函数f（x）=
∴不等式x2+6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，
可得△=36k2-4（k+8）≤0，解之得-
即k的取值范围是{k丨-
故答案为：{k丨-
（1）若不等式x2+4x+6-a≥0当-3≤x≤1时有解，求实数a的取值范围；
（2）对任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求实数x的取值范围．
正确答案
解：（1）不等式x2+4x+6-a≥0，即x2+4x+6≥a
因此，原不等式当-3≤x≤1时有解，
即y=x2+4x+6在[-3，1]上的最大值大于或等于a
∵y=x2+4x+6=（x+2）2+2，
在[-3，-2]上是减函数；在[-2，1]上是增函数；
∴当x=1时，y=x2+4x+6的最大值等于11
所以不等式x2+4x+6-a≥0当-3≤x≤1时有解时a≤11，即实数a的取值范围为（-∞，11]；
（2）∵f（x）=x2+（a-4）x+4-2a=a（x-2）+x2-4x+4，
可得f（x）=g（a）=a（x-2）+x2-4x+4，是关于a的一次函数
∴对任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，
即g（-1）＞0且g（1）＞0，可得
即满足条件的实数x的取值范围为（-∞，1）∪（3，+∞）．
解析
解：（1）不等式x2+4x+6-a≥0，即x2+4x+6≥a
因此，原不等式当-3≤x≤1时有解，
即y=x2+4x+6在[-3，1]上的最大值大于或等于a
∵y=x2+4x+6=（x+2）2+2，
在[-3，-2]上是减函数；在[-2，1]上是增函数；
∴当x=1时，y=x2+4x+6的最大值等于11
所以不等式x2+4x+6-a≥0当-3≤x≤1时有解时a≤11，即实数a的取值范围为（-∞，11]；
（2）∵f（x）=x2+（a-4）x+4-2a=a（x-2）+x2-4x+4，
可得f（x）=g（a）=a（x-2）+x2-4x+4，是关于a的一次函数
∴对任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，
即g（-1）＞0且g（1）＞0，可得
即满足条件的实数x的取值范围为（-∞，1）∪（3，+∞）．
在R上定义运算⊗：x⊗y=x（2-y），若不等式（x+m）⊗x＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是______．
正确答案
（-4，0）
解析
解：由题意得：（x+m）⊗x=（x+m）（2-x）＜1，
变形整理得：x2+（m-2）x+（1-2m）＞0，
因为对任意的实数x不等式都成立，
所以其对应的一元二次方程：x2+（m-2）x+（1-2m）=0的根的判别式△=（m-2）2-4（1-2m）＜0，解得：-4＜m＜0．
扫码查看完整答案与解析