- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知函数f（x）=3x2+2（k-1）x+k+5（k∈R）
（1）对任意k∈（-1，1），不等式f（x）＜0恒成立，求x的取值范围；
（2）若函数在区间（0，2）内有零点，求k的取值范围．
正确答案
解：（1）∵函数f（x）=3x2+2（k-1）x+k+5，（k∈R），
∴设g（k）=（2x+1）k+3x2-2x+5，k∈（-1，1）；
∴
即
解得x∈∅，
∴x的取值范围是∅；
（2）∵函数f（x）=3x2+2（k-1）x+k+5在区间（0，2）内有零点，
等价于方程3x2+2（k-1）x+k+5=0在区间（0，2）内有实数根，
则（i）判别式△=4（k-1）2-12（k+5）=0时，得k=7或k=-2，
此时方程的根分别是k=7时，根是x1=x2=-2；
k=-2时，根是x1=x2=1；
∵方程在（0，2）内有实数根，∴k=-2（k=7舍去）；
（ii）判别式△＞0时，则k＞7或k＜-2，
①若两根都在（0，2）内，则对称轴x=-
即
解得
∴-
②若方程在（0，2）内存在一个根，则f（0）•f（2）＜0，
解得-5＜k＜-
（iii）当f（2）=0时，即12+4（k-1）+k+5=0，k=-
此时f（0）=k+5=
当f（0）=k+5=0时，k=-5，此时f（2）=12+4（k-1）+k+5=-12＜0，不符合题意，舍去；
∴k=-
综上，k的取值范围是{k|-5＜k≤-2}．
解析
解：（1）∵函数f（x）=3x2+2（k-1）x+k+5，（k∈R），
∴设g（k）=（2x+1）k+3x2-2x+5，k∈（-1，1）；
∴
即
解得x∈∅，
∴x的取值范围是∅；
（2）∵函数f（x）=3x2+2（k-1）x+k+5在区间（0，2）内有零点，
等价于方程3x2+2（k-1）x+k+5=0在区间（0，2）内有实数根，
则（i）判别式△=4（k-1）2-12（k+5）=0时，得k=7或k=-2，
此时方程的根分别是k=7时，根是x1=x2=-2；
k=-2时，根是x1=x2=1；
∵方程在（0，2）内有实数根，∴k=-2（k=7舍去）；
（ii）判别式△＞0时，则k＞7或k＜-2，
①若两根都在（0，2）内，则对称轴x=-
即
解得
∴-
②若方程在（0，2）内存在一个根，则f（0）•f（2）＜0，
解得-5＜k＜-
（iii）当f（2）=0时，即12+4（k-1）+k+5=0，k=-
此时f（0）=k+5=
当f（0）=k+5=0时，k=-5，此时f（2）=12+4（k-1）+k+5=-12＜0，不符合题意，舍去；
∴k=-
综上，k的取值范围是{k|-5＜k≤-2}．
已知：实数a∈{-1，1，a2}-1，1，a2，求不等式x2-（1-a）x-2＜0的解集．
正确答案
解：∵a∈{-1，1，a2}，∴a可能等于1或-1或a2．
当a=1时，集合为{1，-1，1}，不符合集合元素的互异性，∴a≠1
同理可得a≠-1∴a=a2，得a=1（舍去）或a=0．
∴不等式x2-（1-a）x-2＜0可化为x2-x-2＜0，
∴所求解集为（-1，2）．
解析
解：∵a∈{-1，1，a2}，∴a可能等于1或-1或a2．
当a=1时，集合为{1，-1，1}，不符合集合元素的互异性，∴a≠1
同理可得a≠-1∴a=a2，得a=1（舍去）或a=0．
∴不等式x2-（1-a）x-2＜0可化为x2-x-2＜0，
∴所求解集为（-1，2）．
已知关于x的一元二次不等式（a-2）x2+2
正确答案
解析
的解集为R，
则
即
又由a≤4，b≥1可得满足条件的平面区域如下图所示：
令k=
则k表示平面上一动点（a，b）与原点连线的斜率，
由图可知k∈[
则
∵f（k）=
由
当k＞
则f（k）在[
则f（x）的最大值为f（
由于f（
故
故答案为：[
附加题：不等式2≤x2+mx+10≤6有且只有一个解，求实数m的值．
正确答案
解：
若x1=x2，则△1=m2-16=0，m=±4，∵x2+mx+4=0，∴x2+mx+8＞0
∴（1）的解集为：{x1}，（2）的解集为：R
∴不等式的解集为：{x1}
若△1=m2-16＞0，则
或
综上：m=±4
解析
解：
若x1=x2，则△1=m2-16=0，m=±4，∵x2+mx+4=0，∴x2+mx+8＞0
∴（1）的解集为：{x1}，（2）的解集为：R
∴不等式的解集为：{x1}
若△1=m2-16＞0，则
或
综上：m=±4
不等式
正确答案
-4＜m≤0
解析
解：由于x2-8x+20恒大于0，故不等式
当m=0时，mx2+2mx-4=-4＜0，不等式成立；
当m≠0时，设y=mx2+2mx-4，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m＜0且△＜0
得到：
综上得到-4＜m≤0
故答案为：-4＜m≤0．
把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A
B4cm2
C3
D2
正确答案
解析
解：设两段长分别为xcm，（12-x）cm，
则这两个正三角形面积之和 S=
=
故选 D．
不等式x2+ax+b≤0的解集是{x|-1≤x≤3}，则ab=（ ）
正确答案
解析
解：因为：不等式x2+ax+b≤0的解集是{x|-1≤x≤3}，
∴-1和3是方程x2+ax+b=0的 两根，
所以有：-1+3=-a且（-1）×3=b．
即b=-3，a=-2，
∴ab=6．
故选D．
下列不等式不成立的是（ ）
Aa2+b2+c2≥ab+bc+ca
B
C
D
正确答案
解析
证明：对于A：
a2+b2+c2
=
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca．故A成立；
对于B：
∴
对于C：
且：
∴
对于D：由于
∴
故选D．
命题“ax2-2ax+3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是 ______．
正确答案
a＜0或a≥3
解析
解：命题“ax2-2ax+3＞0恒成立”是假命题，即“ax2-2ax+3≤0恒成立”是真命题 ①．
当a=0 时，①不成立，
当a≠0 时，要使①成立，必须 
故答案为 a＜0 或a≥3．
若不等式x2+（a+2）x+1≥0的解集为R，则实数a的取值范围是______．
正确答案
[-4，0]
解析
解：∵关于x不等式x2+（a+2）x+1≥0的解集为R，
∴方程x2+（a+2）x+1=0至多有一个实根
即△=（a+2）2-4≤0
解得：-4≤a≤0，
故答案为：[-4，0]．
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