- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
方程sin2x-2sinx-a=0在x∈R上有解，则a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：方程sin2x-2sinx-a=0在x∈R上有解，可以转化为a=sin2x-2sinx，x∈R
故令t=sinx∈[-1，1]，则方程转化为
a=t2-2t，t∈[-1，1]，
此二次函数的对称轴为t=1，故 a=t2-2t在[-1，1]上是减函数，
∴-1≤t≤3，即a的取值范围是[-1，3]
故应选C．
若不等式x2+2kx+1≥0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为______．
正确答案
[-1，1]
解析
解：要使不等式x2+2kx+1≥0对一切实数x恒成立，
则判别式△≤0，
即△=4k2-4≤0，即k2≤1，
解得-1≤k≤1，
即实数k的取值范围为[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．
若关于x的不等式：x2+2x+a+2＞0的解集为R，则实数a的取值范围为______．
正确答案
a＞-1
解析
解：∵关于x的不等式：x2+2x+a+2＞0的解集为R，
∴函数y=x2+2x+a+2的最小值大于0
∵二次函数y=x2+2x+a+2的图象是开口向上的抛物线，关于直线x=-1对称
∴y=x2+2x+a+2的最小值为f（-1）=1-2+a+2＞0，解之得a＞-1
故答案为：a＞-1
设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则a+b的值是（ ）
A1
B
C0
D-1
正确答案
解析
解：∵一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，
∴方程ax2+bx+1=0的解为-1，2
∴-1+2=-
∴
∴a+b=0
故选C．
解关于x的不等式
正确答案
解：原不等式化为 
根据题意，k≥0，k≠1，
考虑到
（1）若1-k＞0即k＜1时，不等式等价于（x-
①若k=0，不等式的解集为∅
②若0＜k＜1，不等式的解集为{x|2＜x＜
（2）若1-k＜0即k＞1时，不等式等价于（x-
此时恒有2＞
解析
解：原不等式化为
根据题意，k≥0，k≠1，
考虑到
（1）若1-k＞0即k＜1时，不等式等价于（x-
①若k=0，不等式的解集为∅
②若0＜k＜1，不等式的解集为{x|2＜x＜
（2）若1-k＜0即k＞1时，不等式等价于（x-
此时恒有2＞
不等式
正确答案
解析
解：由
即
则
解得：x＜0或
∴不等式
故答案为：
设不等式x2-4x+3＜0的解集为A，不等式x2+x-6＞0的解集为B．
（1）求A∩B；
（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求a，b的值．
正确答案
解：（1）由题意：A={x|1＜x＜3}，B={x|x＜-3或x＞2}，
∴A∩B={x|1＜x＜3}∩{x|x＜-3或x＞2}={x|2＜x＜3}，
（2）∵不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，
∴方程x2+ax+b=0的解是2和3
由根与系数的关系可知：a=-5，b=6．
解析
解：（1）由题意：A={x|1＜x＜3}，B={x|x＜-3或x＞2}，
∴A∩B={x|1＜x＜3}∩{x|x＜-3或x＞2}={x|2＜x＜3}，
（2）∵不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，
∴方程x2+ax+b=0的解是2和3
由根与系数的关系可知：a=-5，b=6．
如果不等式（3-m）x2+（2-m）x+2-m≥0对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是______．
正确答案
m≤2
解析
解：当3-m=0，即m=3时，不等式可化为：-x-1≥0对任意实数x不都成立，故不满足题意；
当m≠3时，y=（3-m）x2+（2-m）x+2-m的图象是抛物线，它的函数值要非负，则开口向上且与x轴没有交点或一个交点．
∴
∴
∴
解得m≤2；
故答案为：m≤2
如果一个一元二次不等式的解集为（2，3），则这样的一元二次不等式可以是______（写出一个符合条件的不等式即可）．
正确答案
x2-5x+6＜0
解析
解：∵一个一元二次不等式的解集为（2，3）
∴根据一元二次不等式与一元二次函数，一元二次方程之间的关系可知这样的一元二次不等式可以是（x-2）（x-3）＜0即x2-5x+6＜0
故答案为x2-5x+6＜0
已知不等式mx2-2x-m+1＜0．
（1）若对于所有的实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
正确答案
解：（1）当m=0时，1-2x＜0，即当
解得m≠0时，设f（x）=mx2-2x-m+1，由于f（x）＜0恒成立，则有
综上可知，不存在这样的m使不等式恒成立．…（6分）
（2）由题意-2≤m≤2，设g（m）=（x2-1）m+（1-2x），则由题意可得g（m）＜0，故有 
即
所以x的取值范围为
解析
解：（1）当m=0时，1-2x＜0，即当
解得m≠0时，设f（x）=mx2-2x-m+1，由于f（x）＜0恒成立，则有
综上可知，不存在这样的m使不等式恒成立．…（6分）
（2）由题意-2≤m≤2，设g（m）=（x2-1）m+（1-2x），则由题意可得g（m）＜0，故有
即
所以x的取值范围为
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