- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知关于x的不等式x2-4x-m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}．
（1）求实数m，n的值；
（2）若函数f（x）=-x2+4ax+4在（1，+∞）上递减，求关于x的不等式loga（-nx2+3x+2-m）＞0（a＞0，a≠1）的解集．
正确答案
解：（1）∵x的不等式x2-4x-m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}．
由题意知，n和5是方程x2-4x-m=0的两个根，…（2分）
所以n+5=4，5n=-m，得n=-1，m=5 …（4分）
（2）由题意知，对称轴x=2a，2a≤1，得
loga（-nx2+3x+2-m）＞0⇔0＜-nx2+3x+2-m＜1
即
得
所以原不等式的解集为
解析
解：（1）∵x的不等式x2-4x-m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}．
由题意知，n和5是方程x2-4x-m=0的两个根，…（2分）
所以n+5=4，5n=-m，得n=-1，m=5 …（4分）
（2）由题意知，对称轴x=2a，2a≤1，得
loga（-nx2+3x+2-m）＞0⇔0＜-nx2+3x+2-m＜1
即
得
所以原不等式的解集为
已知集合A={x|x2-ax-a-1＞0}，且集合Z∩CRA中只含有一个元素，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：∵A={x|x2-ax-a-1＞0}，
∴CRA={x|x2-ax-a-1≤0}，
又x2-ax-a-1≤0可变为（x-a-1）（x+1）≤0
当a+1=-1时，（x-a-1）（x+1）≤0即（x+1）2≤0，可得x=-1，此时a=-2满足题意
当a+1＞-1，即a＞-2时，（x-a-1）（x+1）≤0的解满足-1≤x≤a+1，必有a+1＜0，解得a＜-1，此时实数a的取值范围是（-2，-1）
当a+1＜-1即a＜-2时，（x-a-1）（x+1）≤0的解满足a+1≤x≤-1，必有a+1＞-2，解得a＞-3，此时实数a的取值范围是（-3，-2）
综上得实数a的取值范围是（-3，-1）
故选A
不等式x2-ax-b＜0的解为2＜x＜3，则a，b值分别为（ ）
正确答案
解析
解：[解法一]
∵不等式x2-ax-b＜0的解为2＜x＜3，
∴一元二次方程x2-ax-b=0的根为x1=2，x2=3，
根据根与系数的关系可得：
[解法二]∵不等式x2-ax-b＜0的解为2＜x＜3，
∴不等式x2-ax-b＜0与（x-2）（x-3）＜0解集相同
即x2-ax-b＜0与x2-5x+6＜0解集相同，
所以
故选C
若不等式x2-kx+k-1＜0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是______．
正确答案
[3，+∞）
解析
解：∵不等式x2-kx+k-1＜0对x∈（1，2）恒成立，
∴一定有
故答案为[3，+∞）．
若不等式x2-x-ax+a≤0的解也是不等式x2-ax+1-a＞0的解，则a的取值范围是______．
正确答案
[0，+∞）
解析
解：不等式x2-x-ax+a≤0，可化为（x-1）（x-a）≤0，x2-ax+1-a＞0，可化为（x+1）（x+1-a）＞0
①a=0时，不等式x2-x-ax+a≤0的解为[0，1]；不等式x2-ax+1-a＞0的解为（-∞，-1）∪（-1，+∞），成立；
②1＞a＞0时，不等式x2-x-ax+a≤0的解为[a，1]；不等式x2-ax+1-a＞0的解为（-∞，-1）∪（a-1，+∞），成立；
③a≥1时，不等式x2-x-ax+a≤0的解为[1，a]；不等式x2-ax+1-a＞0的解为（-∞，-1）∪（a-1，+∞），成立；
④a＜0时，不等式x2-x-ax+a≤0的解为[a，1]；不等式x2-ax+1-a＞0的解为（-∞，a-1）∪（-1，+∞），不成立．
综上，a≥0．
故答案为：[0，+∞）．
解不等式：x2-4x＜0．
正确答案
解：不等式可化为x（x-4）＜0，
∴0＜x＜4，
∴不等式的解集为{x|0＜x＜4}．
解析
解：不等式可化为x（x-4）＜0，
∴0＜x＜4，
∴不等式的解集为{x|0＜x＜4}．
已知关于x的不等式（ax-a2-4）（x-4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为______．
正确答案
-2
解析
解：已知关于x的不等式（ax-a2-4）（x-4）＞0，
①a＜0时，[x-（a+
故解集为（a+
由于a+
当且仅当-a=-
∴a+
②a=0时，-4（x-4）＞0，解集为（-∞，4），整数解有无穷多，故a=0不符合条件；
③a＞0时，[x-（a+
∴故解集为（-∞，4）∪（a+
综上所述，a=-2．
故答案为：-2．
设集合A={x|y=
（1）求集合A∩B
（2）若关于x的不等式2x2+ax+b＜0的解集是B，求a，b的值．
正确答案
解：（1）由log2x-2≥0，得x≥4，
所以A={x|x≥4}，
由
所以B={x|2＜x＜6}．
故A∩B={x|4≤x＜6}．
（2）因为不等式2x2+ax+b＜0的解集是B，
所以方程2x2+ax+b=0的两个根为2，6，
所以有2+6=-
故a=-16，b=24．
解析
解：（1）由log2x-2≥0，得x≥4，
所以A={x|x≥4}，
由
所以B={x|2＜x＜6}．
故A∩B={x|4≤x＜6}．
（2）因为不等式2x2+ax+b＜0的解集是B，
所以方程2x2+ax+b=0的两个根为2，6，
所以有2+6=-
故a=-16，b=24．
设集合A={x|x＜-2或x＞3}，关于x的不等式x2-ax-2a2≥0的解集为B
（1）当a＜0时，求集合B；
（2）设p：x∈A，q：x∈B，且￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）不等式x2-ax-2a2≥0可化为（x-2a）（x+a）≥0
∵a＜0，∴2a＜-a
∴x≤2a或x≥-a
∴集合B={x|x≤2a或x≥-a}；
（2）∵￢p是￢q的必要不充分条件
∴q是p的必要不充分条件
∴A
∵集合B={x|（x-2a）（x+a）≥0}
∴①a＜0时，集合B={x|x≤2a或x≥-a}，∵集合A={x|x＜-2或x＞3}，∴2a≥-2且-a≤3
∵a＜0，∴-1≤a＜0；
②a=0时，集合B=R，A
③a＞0时，集合B={x|x≤-a或x≥2a}，∵集合A={x|x＜-2或x＞3}，A
∵a＞0，∴0＜a≤
综上知，-1≤a≤
解析
解：（1）不等式x2-ax-2a2≥0可化为（x-2a）（x+a）≥0
∵a＜0，∴2a＜-a
∴x≤2a或x≥-a
∴集合B={x|x≤2a或x≥-a}；
（2）∵￢p是￢q的必要不充分条件
∴q是p的必要不充分条件
∴A
∵集合B={x|（x-2a）（x+a）≥0}
∴①a＜0时，集合B={x|x≤2a或x≥-a}，∵集合A={x|x＜-2或x＞3}，∴2a≥-2且-a≤3
∵a＜0，∴-1≤a＜0；
②a=0时，集合B=R，A
③a＞0时，集合B={x|x≤-a或x≥2a}，∵集合A={x|x＜-2或x＞3}，A
∵a＞0，∴0＜a≤
综上知，-1≤a≤
若关于x的不等式（k-2）x2-2（k-2）x+1≥0解集为R，则k的取值范围是______．
正确答案
[2，3]
解析
解：∵不等式（k-2）x2-2（k-2）x+1≥0解集为R，
∴k-2=0或
∴2≤k≤3．
故答案为：[2，3]．
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