一元二次不等式及其解法_章节学习

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题型：单选题

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单选题

不等式4x2-4x+1＞0的解集为（　　）

AR=（-∞，+∞）

B∅

C{}

D{x}

正确答案

D

解析

解：∵4x2-4x+1＞0，∴（2x-1）2＞0，∴2x-1≠0，即，∴原不等式的解集为{x|}．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知x2+px+q＜0的解集为{x|-2＜x＜3}，若f（x）=qx2+px+1

（1）求不等式f（x）＞0的解集；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

正确答案

解：（1）∵求不等式x2+px+q＜0的解集为{x|-2＜x＜3}，

∴-2，3是对应方程x2+px+q=0的两个根，

则，解得，

即f（x）=qx2+px+1=-6x2-x+1，

由f（x）＞0得-6x2-x+1＞0，

即6x2+x-1＜0，

（2x+1）（3x-1）＜0，

解得，

即不等式f（x）＞0的解集是（），

（2）若恒成立，即球f（x）的最大值即可，

∵f（x）=-6x2-x+1=-6（x+）2+，

∴当x=-时，f（x）的最大值为，

∴要使若恒成立，

则，

即a，

即a的取值范围（）．

解析

解：（1）∵求不等式x2+px+q＜0的解集为{x|-2＜x＜3}，

∴-2，3是对应方程x2+px+q=0的两个根，

则，解得，

即f（x）=qx2+px+1=-6x2-x+1，

由f（x）＞0得-6x2-x+1＞0，

即6x2+x-1＜0，

（2x+1）（3x-1）＜0，

解得，

即不等式f（x）＞0的解集是（），

（2）若恒成立，即球f（x）的最大值即可，

∵f（x）=-6x2-x+1=-6（x+）2+，

∴当x=-时，f（x）的最大值为，

∴要使若恒成立，

则，

即a，

即a的取值范围（）．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•苏州校级月考）设关于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x2-2x-3≤0的解集为N．

（1）当a=1时，求集合M，N；

（2）若M∪N=N，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（1）当a=1时，由已知得x（x-2）＜0，

解得0＜x＜2，

所以M={x|0＜x＜2}；…（3分）

又由已知得（x+1）（x-3）＜0，

解得-1＜x＜3，

所以N={x|-1＜x＜3}；…（6分）

（2）因为M∪N=N，所以M⊆N，…（8分）

①若a=-1时，M=∅，显然有M⊆N，所以a=1成立；…（9分）

②若a＜-1时，因为a+1＜0，所以M={x|a+1＜x＜0}；

因为M⊆N，所以-1≤a+1＜0，解得-2≤a＜-1；…（11分）

③若a＞-1时，因为a+1＞0，所以M={x|0＜x＜a+1}；

因为M⊆N，所以0＜a+1≤3，解得-1＜a≤2；…（13分）

综上所述，a的取值范围是[-2，2]．…（14分）

解析

解：（1）当a=1时，由已知得x（x-2）＜0，

解得0＜x＜2，

所以M={x|0＜x＜2}；…（3分）

又由已知得（x+1）（x-3）＜0，

解得-1＜x＜3，

所以N={x|-1＜x＜3}；…（6分）

（2）因为M∪N=N，所以M⊆N，…（8分）

①若a=-1时，M=∅，显然有M⊆N，所以a=1成立；…（9分）

②若a＜-1时，因为a+1＜0，所以M={x|a+1＜x＜0}；

因为M⊆N，所以-1≤a+1＜0，解得-2≤a＜-1；…（11分）

③若a＞-1时，因为a+1＞0，所以M={x|0＜x＜a+1}；

因为M⊆N，所以0＜a+1≤3，解得-1＜a≤2；…（13分）

综上所述，a的取值范围是[-2，2]．…（14分）

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题型：单选题

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单选题

不等式2x2-x-1＞0的解集是（　　）

A（-，1）

B（1，+∞）

C（-∞，1）∪（2，+∞）

D（-∞，-）∪（1，+∞）

正确答案

D

解析

解：原不等式同解于

（2x+1）（x-1）＞0

∴x＞1或x＜

故选：D

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题型：简答题

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简答题

解关于x的不等式

（1）4x2-4x+1＞0

（2）x2-（a+1）x+a＜0

（3）．

正确答案

解：（1）4x2-4x+1＞0可化为（2x-1）2＞0，∴2x-1≠0，解得．∴原不等式的解集是{x|}；

（2）x2-（a+1）x+a＜0可化为（x-1）（x-a）＜0．

①a=1时，化为（x-1）2＜0，其解集为∅；

②a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；

③a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．

（3）可化为，化为（x2-2x-3）（2x2+3x-2）＜0，

∴（x-3）（x+1）（2x-1）（x+2）＜0，

利用“穿根法”可得-2＜x＜-1或．

∴不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或}．

解析

解：（1）4x2-4x+1＞0可化为（2x-1）2＞0，∴2x-1≠0，解得．∴原不等式的解集是{x|}；

（2）x2-（a+1）x+a＜0可化为（x-1）（x-a）＜0．

①a=1时，化为（x-1）2＜0，其解集为∅；

②a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；

③a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．

（3）可化为，化为（x2-2x-3）（2x2+3x-2）＜0，

∴（x-3）（x+1）（2x-1）（x+2）＜0，

利用“穿根法”可得-2＜x＜-1或．

∴不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或}．

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题型：填空题

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填空题

若不等式x2-（a+1）x+a＜O的解集是[-4，3]的子集，则a的取值范围是______．

正确答案

[-4，3]

解析

解：不等式x2-（a+1）x+a≤0的解集为[-4，3]的子集，设函数f（x）=x2-（a+1）x+a，则由题意可得，解得-4≤a≤3，

故答案为：[-4，3]．

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题型：填空题

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填空题

已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2-4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为______．

正确答案

（-5，0）∪（5，﹢∞）

解析

解：作出f（x）=x2-4x（x＞0）的图象，如图所示，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，

不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，

∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（-5，-5），

则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（-5，0）∪（5，+∞）．

故答案为：（-5，0）∪（5，+∞）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x2-ax+b．

（1）当不等式f（x）＜0的解集为（1，2）时，求实数a、b的值；

（2）若b=1，且函数f（x）在区间[0，2]上的最小值是-5，求实数a的值．

正确答案

解：（1）因为不等式f（x）＜0的解集为（1，2），

所以

（2）f（x）=x2-ax+1，对称轴为

当即a≤0时，ymin=f（0）=1，显然不合题意；

当即a≥4时，ymin=f（2）=5-2a=-5，解得a=5，符合题意；

当即0＜a＜4时，，得，不合题意．

实数a的值为：5．

解析

解：（1）因为不等式f（x）＜0的解集为（1，2），

所以

（2）f（x）=x2-ax+1，对称轴为

当即a≤0时，ymin=f（0）=1，显然不合题意；

当即a≥4时，ymin=f（2）=5-2a=-5，解得a=5，符合题意；

当即0＜a＜4时，，得，不合题意．

实数a的值为：5．

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题型：单选题

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单选题

不等式（x-1）（x-4）＜0的解集为（　　）

A（1，4）

B[1，4）

C（-∞，1）∪（4，+∞）

D（-∞，1]∪（4，+∞）

正确答案

A

解析

解：不等式（x-1）（x-4）＜0，

可化为或，

解得：1＜x＜4，

则原不等式的解集为（1，4）．

故选A

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题型：简答题

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简答题

解下列不等式：

（1）-3x2+6x＞2

（2）-x2+2x+3＜0．

正确答案

解：（1）-3x2+6x＞2化为3x2-6x-2＜0，由3x2-6x-2=0解得，∴不等式的解集为{x|}；

（2）-x2+2x+3＜0化为x2-2x-3＞0，因式分解为（x-3）（x+1）＞0，解得x＞3或x＜-1，∴不等式的解集为{x|x＞3或x＜-1}．

解析

解：（1）-3x2+6x＞2化为3x2-6x-2＜0，由3x2-6x-2=0解得，∴不等式的解集为{x|}；

（2）-x2+2x+3＜0化为x2-2x-3＞0，因式分解为（x-3）（x+1）＞0，解得x＞3或x＜-1，∴不等式的解集为{x|x＞3或x＜-1}．

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