- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
不等式-x2-4x+5＞0的解集是______．
正确答案
{x|-5＜x＜1}
解析
解：不等式-x2-4x+5＞0化为：x2+4x-5＜0，解得-5＜x＜1．
所以不等式的解集为：{x|-5＜x＜1}；
故答案为：{x|-5＜x＜1}．
若ax2-5x+b＞0解集为{x|-3＜x＜2}，则bx2-5x+a＞0解集为（ ）
A{x|x＜-
B{x|-3＜x＜2}
C{x|-
D{x|x＜-3或x＞2}
正确答案
解析
解：∵ax2-5x+b＞0解集为{x|-3＜x＜2}，
∴-3，2是一元二次方程ax2-5x+b=0的两个实数根，a＜0．
∴-3+2=
∴bx2-5x+a＞0即为30x2-5x-5＞0，化为6x2-x-1＞0，
解得
∴解集为
故选：A．
不等式（x+1）（x-1）＜0的解集为（ ）
正确答案
解析
解：由（x+1）（x-1）=0，解得x=-1或1，
∴不等式（x+1）（x-1）＜0的解集为{x|-1＜x＜1}．
故选A．
不等式x2-3x-10≤0的解集为______．
正确答案
[-2，5]
解析
解：方程x2-3x-10=0的两根为5，-2，
由函数y=x2-3x-10的图象开口向上，
所以不等式x2-3x-10≤0的解集[-2，5]．
故答案为：[-2，5]．
已知函数f（x）=3ax2+2bx+b-a（a，b是不同时为零的常数）．
（1）当a=
（2）求证：函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点．
正确答案
解：（1）当a=
问题可化为x2+2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，
故可得△=（2b）2-4b＜0，解得0＜b＜1
（2）证：当a=0，b≠0时，f（x）=2bx+b的零点为
当a≠0时，二次函数f（x）=3ax2+2bx+b-a的对称轴方程为x=-
①若-
所以函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点，
②-
所以函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点，
综上可得：函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点．
解析
解：（1）当a=
问题可化为x2+2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，
故可得△=（2b）2-4b＜0，解得0＜b＜1
（2）证：当a=0，b≠0时，f（x）=2bx+b的零点为
当a≠0时，二次函数f（x）=3ax2+2bx+b-a的对称轴方程为x=-
①若-
所以函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点，
②-
所以函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点，
综上可得：函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点．
已知不等式x2+bx-a＜0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=______．
正确答案
-19
解析
解：∵不等式x2+bx-a＜0的解集是{x|3＜x＜4}，
∴3，4是一元二次方程x2+bx-a=0的实数根，
∴3+4=-b，3×4=-a，解得b=-7，a=-12．
∴a+b=-19．
故答案为：-19．
已知不等式x2-2ax+a＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：∵不等式x2-2ax+a＜0的解集为∅，
∴△≤0，
即4a2-4a≤0，
解得0≤a≤1；
∴实数a的取值范围是[0，1]．
故选：A．
已知不等式ax2-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a、b的值；
（2）当n＞2时，解不等式：ax2+bn＜（an+b）x．
正确答案
解：（1）因为不等式ax2-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且b＞1；
由根与系数的关系得
解得
即a的值是1，b的值是2；
（2）因为a=1，b=2，
所以不等式ax2+bn＜（an+b）x可化为x2-（2+n）x+2n＜0，
即（x-2）（x-n）＜0；
又因为n＞2，
所以不等式（x-2）（x-n）＜0的解集为{x|2＜x＜n}．
解析
解：（1）因为不等式ax2-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且b＞1；
由根与系数的关系得
解得
即a的值是1，b的值是2；
（2）因为a=1，b=2，
所以不等式ax2+bn＜（an+b）x可化为x2-（2+n）x+2n＜0，
即（x-2）（x-n）＜0；
又因为n＞2，
所以不等式（x-2）（x-n）＜0的解集为{x|2＜x＜n}．
已知关于x的不等式-1＜x2+2x-1≤2的解集是______．
正确答案
{x|0＜x≤1或-3≤x＜-2}
解析
解：不等式-1＜x2+2x-1≤2化为
∴不等式-1＜x2+2x-1≤2的解集为{x|0＜x≤1或-3≤x＜-2}．
故答案为：{x|0＜x≤1或-3≤x＜-2}．
解下列不等式：
（1）-x2+2x-
（2）9x2-6x+1≥0．
正确答案
解：（1）两边都乘以-3，得3x2-6x+2＜0，
因为3＞0，且方程3x2-6x+2=0的解是
x1=1-
所以原不等式的解集是{x|1-
（2）法一：∵不等式9x2-6x+1≥0，
其相应方程9x2-6x+1=0，
△=（-6）2-4×9=0，
∴上述方程有两个相等实根x1=x2=
法二：9x2-6x+1≥0⇔（3x-1）2≥0，
∴x∈R，∴不等式的解集为R．
解析
解：（1）两边都乘以-3，得3x2-6x+2＜0，
因为3＞0，且方程3x2-6x+2=0的解是
x1=1-
所以原不等式的解集是{x|1-
（2）法一：∵不等式9x2-6x+1≥0，
其相应方程9x2-6x+1=0，
△=（-6）2-4×9=0，
∴上述方程有两个相等实根x1=x2=
法二：9x2-6x+1≥0⇔（3x-1）2≥0，
∴x∈R，∴不等式的解集为R．
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