一元二次不等式及其解法_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知集合P={x|x2-x-2≤0}，Q={x|log2（x-1）≤1}，则P∩Q=（　　）

A[-1，3]

B[-1，2]

C（1，2]

D[2，3]

正确答案

C

解析

解：对于集合P：∵x2-x-2≤0，化为（x-2）（x+1）≤0，解得-1≤x≤2，

∴P={x|-1≤x≤2}，

对于集合Q：由log2（x-1）≤1=log22，

∴0＜x-1≤2，解得1＜x≤3，

∴Q={x|1＜x≤3}．

∴P∩Q═{x|-1≤x≤2}∩{x|1＜x≤3}={x|1＜x≤2}．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

解关于x的不等式：（x+a-1）（x-2a）＞0．

正确答案

解：当1-a=2a，即时，不等式化为0，∴，∴不等式的解集为{x|}；

当1-a＞2a，即时，解得x＞1-a或x＜2a，∴不等式的解集为{x|x＞1-a或x＜2a}；

当1-a＜2a，即时，解得x＞2a或x＜1-a，∴不等式的解集为{x|x＞2a或x＜1-a}．

综上可得：当时，不等式的解集为{x|}；

当时，不等式的解集为{x|x＞1-a或x＜2a}；

当时，不等式的解集为{x|x＞2a或x＜1-a}．

解析

解：当1-a=2a，即时，不等式化为0，∴，∴不等式的解集为{x|}；

当1-a＞2a，即时，解得x＞1-a或x＜2a，∴不等式的解集为{x|x＞1-a或x＜2a}；

当1-a＜2a，即时，解得x＞2a或x＜1-a，∴不等式的解集为{x|x＞2a或x＜1-a}．

综上可得：当时，不等式的解集为{x|}；

当时，不等式的解集为{x|x＞1-a或x＜2a}；

当时，不等式的解集为{x|x＞2a或x＜1-a}．

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题型：填空题

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填空题

已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是______．

正确答案

21

解析

解：∵关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，

∴△=36-4a＞0，解得a＜9．

由x2-6x+a=0解得=．

∴，

∵关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，

∴＜4，

解得a＞5．

∴5＜a＜9．

∵a∈Z，

∴a=6，7，8．

∴所有符合条件的a的值之和是21．

故答案为：21．

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题型：单选题

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单选题

不等式x（2-x）≤0的解集为（　　）

A{x|0≤x≤2}

B{x|x≤0，或x≥2}

C{x|x≤2}

D{x|x≥0}

正确答案

B

解析

解：不等式x（2-x）≤0可化为x（x-2）≥0，∴x≥2，或x≤0．

∴不等式x（2-x）≤0的解集为{x|x≥2或x≤0}．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

对于函数y=x2-（a+1）x+a2，如果关于x的不等式y＜0有解．

（1）求a的取值范围：；

（2）求函数在[-1，1]上的最大值．

正确答案

解：（1）∵关于x的不等式x2-（a+1）x+a2＜0有解．

∴△=（a+1）2-4a2＞0，化为＜0，

解得，

∴a的取值范围是．

（2）∵，∴．

y=f（x）=x2-（a+1）x+a2=+．（x∈[-1，1]）．

∴函数f（x）在单调递减；函数f（x）在单调递增．

又f（-1）=a2+a+2，f（1）=a2-a，

f（-1）-f（1）=2a+2＞0，

∴f（-1）＞f（1），

∴当x=-1时，函数f（x）取得最大值a2+a+2．

解析

解：（1）∵关于x的不等式x2-（a+1）x+a2＜0有解．

∴△=（a+1）2-4a2＞0，化为＜0，

解得，

∴a的取值范围是．

（2）∵，∴．

y=f（x）=x2-（a+1）x+a2=+．（x∈[-1，1]）．

∴函数f（x）在单调递减；函数f（x）在单调递增．

又f（-1）=a2+a+2，f（1）=a2-a，

f（-1）-f（1）=2a+2＞0，

∴f（-1）＞f（1），

∴当x=-1时，函数f（x）取得最大值a2+a+2．

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题型：填空题

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填空题

抛物线f（x）=ax2+bx+c与（a＞0）与x轴的两个交点的横坐标分别为1和3，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是______．

正确答案

（1，3）

解析

解：根据题意，抛物线f（x）=ax2+bx+c与（a＞0）与x轴的两个交点的横坐标分别为1和3，

∴方程f（x）=ax2+bx+c=0的两个实数根是1和3，

∴不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集为（1，3）．

故答案为：（1，3）．

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题型：简答题

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简答题

（2015春•深圳校级期中）求以下不等式的解集：

（Ⅰ）2x2-x-15＜0（2）

（Ⅱ）若关于x的不等式的解集为（0，2），求实数m的值．

正确答案

解：（Ⅰ）2x2-x-15＜0变形为（2x+5）（x-3）＜0，所以解集为（3分）

变形为所以它的解集为（7分）

（Ⅱ）因为关于x的不等式的解集为（0，2），

则0，2是方程的解．

故，

解得m=1，所以m=1（12分）

解析

解：（Ⅰ）2x2-x-15＜0变形为（2x+5）（x-3）＜0，所以解集为（3分）

变形为所以它的解集为（7分）

（Ⅱ）因为关于x的不等式的解集为（0，2），

则0，2是方程的解．

故，

解得m=1，所以m=1（12分）

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题型：简答题

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简答题

（1）对一切实数x不等式（m+1）x2-2（m+1）x-m≤0恒成立，求m的取值范围；

（2）对一切实数x不等式（m+1）x2-2（m+1）x-m＜0恒成立，求m的取值范围；

（3）对一切实数x不等式（m+1）x2-2（m+1）x-m≥0恒成立，求m的取值范围；

（4）求函数y=（m+1）x2-2（m+1）x-m≥0的最值？（其中m为常数）

正确答案

解：（1）当m+1=0时，m=-1，不等式化为1≤0，显然不成立；

当m+1≠0，即m≠-1时，应满足，

即，

解得，

此不等式组无解，

∴m的取值范围是∅；

（2）当m+1=0时，m=-1，不等式化为1＜0，显然不成立；

当m+1≠0，即m≠-1时，应满足，

即；

解得，

此不等式组无解，

∴m的取值范围是∅；

（3）当m+1=0，即m=-1时，不等式化为1≥0，恒成立；

当m+1≠0，即m≠-1时，应满足，

即，

解得，

即-1＜m≤；

综上，m的取值范围是{m|-1≤m≤-}；

（4）当m+1=0时，m=-1，函数应为y=1，最大、最小值都是1；

当m+1≠0，即m≠-1时，若m+1＞0，即m＞-1时，

函数y=（m+1）x2-2（m+1）x-m有最小值，

为=-2m-1；

若m+1＜0，即m＜-1时，

函数y=（m+1）x2-2（m+1）x-m有最大值，

为=-2m-1．

解析

解：（1）当m+1=0时，m=-1，不等式化为1≤0，显然不成立；

当m+1≠0，即m≠-1时，应满足，

即，

解得，

此不等式组无解，

∴m的取值范围是∅；

（2）当m+1=0时，m=-1，不等式化为1＜0，显然不成立；

当m+1≠0，即m≠-1时，应满足，

即；

解得，

此不等式组无解，

∴m的取值范围是∅；

（3）当m+1=0，即m=-1时，不等式化为1≥0，恒成立；

当m+1≠0，即m≠-1时，应满足，

即，

解得，

即-1＜m≤；

综上，m的取值范围是{m|-1≤m≤-}；

（4）当m+1=0时，m=-1，函数应为y=1，最大、最小值都是1；

当m+1≠0，即m≠-1时，若m+1＞0，即m＞-1时，

函数y=（m+1）x2-2（m+1）x-m有最小值，

为=-2m-1；

若m+1＜0，即m＜-1时，

函数y=（m+1）x2-2（m+1）x-m有最大值，

为=-2m-1．

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题型：填空题

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填空题

不等式（x+1）（3-x）≥0的解集是______．

正确答案

{x|-1≤x≤3}

解析

解：不等式（x+1）（3-x）≥0化为（x+1）（x-3）≤0，

解得-1≤x≤3，

∴不等式的解集为{x|-1≤x≤3}．

故答案为：{x|-1≤x≤3}．

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题型：单选题

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单选题

关于x的不等式kx2-2x+1＞0的解集是{x∈R|x≠}，则k的值是（　　）

A1

B-1

C±1

D-1≤k≤1

正确答案

A

解析

解：∵关于x的不等式kx2-2x+1＞0的解集是{x∈R|x≠}，

∴，

解得k=1，

即k的值是1．

故选：A．

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