一元二次不等式及其解法
共4411题

一元二次不等式及其解法
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题型：简答题

简答题

解关于x的不等式x2+x-m（m-1）＞0（m∈R）

正确答案

解：∵关于x的不等式x2+x-m（m-1）＞0（m∈R），

∴（x-m）[x-（1-m）]＞0．（*）

当m=1-m时，即m=时，化为，∴．此时不等式的解集为{x|}；

当m＞1-m时，即m＞时，此时不等式的解集为{x|x＞m或x＜1-m}；

当m＜1-m时，即m＜时，此时不等式的解集为{x|x＞1-m或x＜m}．

综上可得：当m=时，不等式的解集为{x|}；

当m＞时，不等式的解集为{x|x＞m或x＜1-m}；

当m＜时，不等式的解集为{x|x＞1-m或x＜m}．

解析

解：∵关于x的不等式x2+x-m（m-1）＞0（m∈R），

∴（x-m）[x-（1-m）]＞0．（*）

当m=1-m时，即m=时，化为，∴．此时不等式的解集为{x|}；

当m＞1-m时，即m＞时，此时不等式的解集为{x|x＞m或x＜1-m}；

当m＜1-m时，即m＜时，此时不等式的解集为{x|x＞1-m或x＜m}．

综上可得：当m=时，不等式的解集为{x|}；

当m＞时，不等式的解集为{x|x＞m或x＜1-m}；

当m＜时，不等式的解集为{x|x＞1-m或x＜m}．

题型：填空题

填空题

若不等式ax2+x+a＜0的解集为∅，则实数a的取值范围______．

正确答案

解析

解：①a=0时，原不等式可化为x＜0，不满足题意，应舍去；

②a≠0时，∵不等式ax2+x+a＜0的解集为∅，∴，解得．

故a的取值范围是．

故答案为．

题型：填空题

填空题

不等式x（1-x）＞0的解集是______．

正确答案

（0，1）

解析

解：∵不等式x（1-x）＞0可化为

x（x-1）＜0，

解得0＜x＜1，

∴该不等式的解集是（0，1）．

故答案为：（0，1）．

题型：单选题

单选题

已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[1，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的取值为（　　）

B10

C11

D12

正确答案

解析

解：∵函数f（x）=x2+ax+b的值域为[1，+∞），

∴x2+ax+b-1≥0，

∴△=a2-4（b-1）=0，

即a2-4b+4=0①；

又∵f（x）＜c的解集为（m，m+6），

∴f（x）-c=x2+ax+b-c=0的两个实数根为m，m+6，

令x1=m，x2=m+6，则|x1-x2|=6，

∴（x1+x2）2-4x1x2=36，

即a2-4（b-c）=36②；

由①②得c=10．

故选：B．

题型：单选题

单选题

若不等式x2-ax+a＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是（　　）

A0≤a≤4

B0＜a＜4

Ca＜0或a＞4

Da≤0或a≥4

正确答案

解析

解：∵不等式x2-ax+a＜0的解集为空集，

∴△=（-a）2-4a≤0，

即a（a-4）≤0；

解得0≤a≤4，

∴实数a的取值范围是0≤a≤4．

故选：A．

题型：单选题

单选题

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的零点为2和3，那么不等式ax2+bx+c＜0的解集为（　　）

A{x|2＜x＜3}

B{x|-3＜x＜-2}

C{x|＜x}

D{x|-＜x}

正确答案

解析

解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的零点为2和3，

∴对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为2和3，

∴不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，如图所示．

故选：A．

题型：单选题

单选题

设函数f（x）=x2+x+a（a＞0）满足f（m）＜0，则f（m+1）的符号是（　　）

Af（m+1）≥0

Bf（m+1）≤0

Cf（m+1）＞0

Df（m+1）＜0

正确答案

解析

解：∵f（0）=f（-1）=a＞0，f（m）＜0，

∴-1＜m＜0，

∴0＜m+1＜1，

∵，

∴当x时，函数f（x）单调递增，

∴可得f（m+1）＞f（0）＞0＞f（m）．

故选：C．

题型：简答题

简答题

解关于x的不等式：

（1）x2-2（a+1）x+1＜0（a∈R）；

（2）ax2-（a-8）x+1＞0（a∈R）．

正确答案

解：（1）△=4（a+1）2-4=0时，解得a=0或-2．

当a=0或-2时，不等式化为（x±1）2＜0，此时不等式的解集为∅．

由△＞0解得a＞0或a＜-2，此时不等式化为＜0，

解得＜，此时不等式的解集为：

{x|＜}；

△＜0时，即-2＜a＜0时，不等式的解集为∅．

综上可得：-2≤a≤0时，不等式的解集为∅；

当a＞0或a＜-2时，不等式的解集为{x|＜}．

（2）当a=0时，不等式化为8x+1＞0，解得，此时不等式的解集为{x|x}．

当a≠0时，由△=（a-8）2-4a＞0，解得a＞16或a＜4．

∴当a＞16或a＜4且a≠0时，不等式化为＞0．

当a＞16或0＜a＜4时，不等式的解集为{x|或x＜}．

当a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜}．

综上可得：当a=0时，不等式的解集为{x|x}．

当a＞16或0＜a＜4时，不等式的解集为{x或x＜}．

当a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜}．

解析

解：（1）△=4（a+1）2-4=0时，解得a=0或-2．

当a=0或-2时，不等式化为（x±1）2＜0，此时不等式的解集为∅．

由△＞0解得a＞0或a＜-2，此时不等式化为＜0，

解得＜，此时不等式的解集为：

{x|＜}；

△＜0时，即-2＜a＜0时，不等式的解集为∅．

综上可得：-2≤a≤0时，不等式的解集为∅；

当a＞0或a＜-2时，不等式的解集为{x|＜}．

（2）当a=0时，不等式化为8x+1＞0，解得，此时不等式的解集为{x|x}．

当a≠0时，由△=（a-8）2-4a＞0，解得a＞16或a＜4．

∴当a＞16或a＜4且a≠0时，不等式化为＞0．

当a＞16或0＜a＜4时，不等式的解集为{x|或x＜}．

当a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜}．

综上可得：当a=0时，不等式的解集为{x|x}．

当a＞16或0＜a＜4时，不等式的解集为{x或x＜}．

当a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜}．

题型：单选题

单选题

设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.1]=4，则不等式[x]2-5[x]+6≤0的解集是（　　）

A[2，3]

B[2，4]

C[2，4）

D[3，4）

正确答案

解析

解：由[x]2-5[x]+6≤0，得（[x]-2）（[x]-3）≤0．

解得2≤[x]≤3．

因为[x]表示不超过x的最大整数，

所以2≤x＜4．

所以原不等式的解集为[2，4）．

故选C．

题型：单选题

单选题

不等式组的解集是（　　）

A{x|-1＜x＜1}

B{x|1＜x≤3}

C{x|-1＜x≤0}

D{x|x≥3或x＜1}

正确答案

解析

解析：原不等式相当于不等式组

不等式①的解集为{x|-1＜x＜1}，

不等式②的解集为{x|x＜0或x＞3}．

因此原不等式的解集为{x|x＜0或x＞3}∩{x|-1＜x＜1}={x|-1＜x≤0}

故答案为{x|-1＜x≤0}

故选C．

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