一元二次不等式及其解法_章节学习

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题型：单选题

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单选题

设函数则不等式f（x）＞f（1）的解集是（　　）

A（-3，1）∪（3，+∞）

B（-3，1）∪（2，+∞）

C（-1，1）∪（3，+∞）

D（-∞，-3）∪（1，3）

正确答案

A

解析

解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3

如果x＜0 则 x+6＞3可得 x＞-3，可得-3＜x＜0．

如果 x≥0 有x2-4x+6＞3可得x＞3或 0≤x＜1

综上不等式的解集：（-3，1）∪（3，+∞）

故选A．

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题型：填空题

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填空题

不等式（a-2）x2+2（a-2）x-3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．

正确答案

（-1，2]

解析

解：当a=2时，不等式化为-3＜0，对x∈R恒成立，

当时，

即，

解得-1＜a＜2，不等式也恒成立；

综上，实数a的取值范围是（-1，2]．

故答案为：（-1，2]．

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题型：简答题

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简答题

解关于x的不等式x2+（1-a）x-a＜0（a∈R）．

正确答案

解：原不等式可化为（x+1）（x-a）＜0，（求出x=-1或x=a）

当a＞-1时，不等式解集为{x|-1＜x＜a}，

当a＜-1时，不等式解集为{x|a＜x＜-1}，

当a=-1时，原不等式即为（x+1）2＜0，不等式解集为φ．

解析

解：原不等式可化为（x+1）（x-a）＜0，（求出x=-1或x=a）

当a＞-1时，不等式解集为{x|-1＜x＜a}，

当a＜-1时，不等式解集为{x|a＜x＜-1}，

当a=-1时，原不等式即为（x+1）2＜0，不等式解集为φ．

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题型：填空题

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填空题

在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y），则不等式（x-2）⊗（x+2）＜2的解集为______．

正确答案

（-∞，0）∪（1，+∞）

解析

解：根据题中已知的新定义得：

（x-2）⊗（x+2）=（x-2）[1-（x+2）]=-（x-2）（x+1），

代入不等式（x-2）⊗（x+2）＜2得：

-（x-2）（x+1）＜2，

解得：x∈（-∞，0）∪（1，+∞），

故答案为：（-∞，0）∪（1，+∞）．

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题型：单选题

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单选题

不等式4x2+4x+1≤0的解集为（　　）

Aφ

BR

C

D

正确答案

D

解析

解：∵不等式4x2+4x+1≤0，即（2x+1）2≤0，而对于任意实数x恒有（2x+1）2≥0．

∴（2x+1）2=0，解得．

∴不等式4x2+4x+1≤0的解集为{x|x=}．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

若关于x的不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好是[a，b]，则a+b=______．

正确答案

4

解析

解：设f（x）=x2-3x+4，当x=-=2时，f（x）min=1，

由题意可知a≤1，且f（a）=f（b）=b，a＜b，

由f（b）=b得到b2-3b+4=b，解得b=（舍去）或b=4，

可得b=4，

由抛物线的对称轴为x=2得到a=0，

所以a+b=4．

故答案为：4

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题型：简答题

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简答题

解关于x的不等式（x+1）（mx-1）＞0，（m∈R）．

正确答案

解：①当m=0时，不等式化为x+1＜0，解得x＜-1．

②当m＞0时，不等式化为（x+1）（x-）＞0，解得＜x或x＜-1．

③当-1＜m＜0时，不等式化为（x+1）（x-）＜0，解得＜x＜-1．

④当m=-1时，不等式化为（x+1）2＜0，不等式的解集为∅．

⑤当m＜-1时，不等式化为（x+1）（x-）＜0，解得-1＜x＜．

综上可得：当m=0时，不等式的解集为{x|x＜-1}．

②当m＞0时，不等式的解集为{x|＜x或x＜-1}．

③当-1＜m＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜-1}．

④当m=-1时，不等式的解集为∅．

⑤当m＜-1时，不等式的解集为{x|-1＜x＜}．

解析

解：①当m=0时，不等式化为x+1＜0，解得x＜-1．

②当m＞0时，不等式化为（x+1）（x-）＞0，解得＜x或x＜-1．

③当-1＜m＜0时，不等式化为（x+1）（x-）＜0，解得＜x＜-1．

④当m=-1时，不等式化为（x+1）2＜0，不等式的解集为∅．

⑤当m＜-1时，不等式化为（x+1）（x-）＜0，解得-1＜x＜．

综上可得：当m=0时，不等式的解集为{x|x＜-1}．

②当m＞0时，不等式的解集为{x|＜x或x＜-1}．

③当-1＜m＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜-1}．

④当m=-1时，不等式的解集为∅．

⑤当m＜-1时，不等式的解集为{x|-1＜x＜}．

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题型：简答题

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简答题

解不等式：-2＜x2-3x≤10．

正确答案

解：原不等式可化为，

则由①变形得：（x-1）（x-2）＞0，可化为或，解得x＞2或x＜1；

由②变形得：（x-5）（x+2）≤0，可化为或，解得-2≤x≤5，

所以原不等式的解集为：[-2，1）∪（2，5]．

解析

解：原不等式可化为，

则由①变形得：（x-1）（x-2）＞0，可化为或，解得x＞2或x＜1；

由②变形得：（x-5）（x+2）≤0，可化为或，解得-2≤x≤5，

所以原不等式的解集为：[-2，1）∪（2，5]．

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=x2-4ax+3a，a∈R．

（1）若不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜m}，求实数a，m的值；

（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，且对任意的x∈[0，1]不等式ak+3＜a＜ak-3恒成立，求实数k的取值范围．

正确答案

解：（1）∵函数f（x）=x2-4ax+3a，且f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜m}，

∴f（1）=1-4a+3a=0，

解得a=1，

∴方程x2-4x+3=0的两个实数根为1和3，

∴m=3；

（2）∵不等式f（x）＞0的解集为R，

△=16a2-12a＜0，

解得0＜a＜；

∴不等式ak+3＜a＜ak-3可化为

k+3＞x2-kx＞k-3，

即3＞x2-kx-k＞-3；

设f（x）=x2-kx-k，其图象是抛物线，其对称轴为x=；

当＜0，即k＜0时，f（x）在区间[0，1]上是单调增函数，

应满足，

解得-1＜k＜3，

∴应取-1＜k＜0；

当0≤≤1，即0≤k≤2时，f（x）在区间[0，1]上先单调减再单调增，

应满足，

解得-1＜k＜-2+，

应取0≤k＜-2+；

当＞1，即k＞2时，f（x）在[0，1]上是减函数，

应满足，

解得-3＜k＜2，

∴应取k∈∅；

综上，实数k的取值范围是-1＜k＜-2+．

解析

解：（1）∵函数f（x）=x2-4ax+3a，且f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜m}，

∴f（1）=1-4a+3a=0，

解得a=1，

∴方程x2-4x+3=0的两个实数根为1和3，

∴m=3；

（2）∵不等式f（x）＞0的解集为R，

△=16a2-12a＜0，

解得0＜a＜；

∴不等式ak+3＜a＜ak-3可化为

k+3＞x2-kx＞k-3，

即3＞x2-kx-k＞-3；

设f（x）=x2-kx-k，其图象是抛物线，其对称轴为x=；

当＜0，即k＜0时，f（x）在区间[0，1]上是单调增函数，

应满足，

解得-1＜k＜3，

∴应取-1＜k＜0；

当0≤≤1，即0≤k≤2时，f（x）在区间[0，1]上先单调减再单调增，

应满足，

解得-1＜k＜-2+，

应取0≤k＜-2+；

当＞1，即k＞2时，f（x）在[0，1]上是减函数，

应满足，

解得-3＜k＜2，

∴应取k∈∅；

综上，实数k的取值范围是-1＜k＜-2+．

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题型：简答题

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简答题

解关于x的不等式：mx2-（4m+1）x+4＞0（m≥0）

正确答案

解：当m=0时，不等式化为-x+4＞0，解得x＜4；

当m＞0时，不等式化为（mx-1）（x-4）＞0，

即（x-）（x-4）＞0；

若＜4，则m＞，解不等式得x＜或x＞4；

若=4，则m=，不等式化为（x-4）2＞0，解得x≠4；

若＞4，则m＜，解不等式得x＜4或x＞；

综上，m=0时，不等式的解集是{x|x＜4}；

0＜m＜时，不等式的解集是{x|x＜4，或x＞}；

m=时，不等式的解集是{x|x≠4}；

m＞时，不等式的解集是{x|x＜，或x＞4}．

解析

解：当m=0时，不等式化为-x+4＞0，解得x＜4；

当m＞0时，不等式化为（mx-1）（x-4）＞0，

即（x-）（x-4）＞0；

若＜4，则m＞，解不等式得x＜或x＞4；

若=4，则m=，不等式化为（x-4）2＞0，解得x≠4；

若＞4，则m＜，解不等式得x＜4或x＞；

综上，m=0时，不等式的解集是{x|x＜4}；

0＜m＜时，不等式的解集是{x|x＜4，或x＞}；

m=时，不等式的解集是{x|x≠4}；

m＞时，不等式的解集是{x|x＜，或x＞4}．

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