一元二次不等式及其解法
共4411题

一元二次不等式及其解法
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题型：简答题

简答题

若不等式ax2-bx+c＞0的解集是{x|-2＜x＜3}，求不等式cx2+bx+a＞0的解集．

正确答案

解：∵不等式ax2-bx+c＞0的解集是{x|-2＜x＜3}，∴a＜0，-2，3是方程ax2-bx+c=0的两个实数根．

∴，∴，∴，

∴不等式cx2+bx+a＞0可化为，即6x2-x-1＞0，∴（3x+1）（2x-1）＞0，

∵方程（3x+1）（2x-1）=0的实数根为，；

∴不等式（3x+1）（2x-1）＞0的解集为{x|或}．

解析

解：∵不等式ax2-bx+c＞0的解集是{x|-2＜x＜3}，∴a＜0，-2，3是方程ax2-bx+c=0的两个实数根．

∴，∴，∴，

∴不等式cx2+bx+a＞0可化为，即6x2-x-1＞0，∴（3x+1）（2x-1）＞0，

∵方程（3x+1）（2x-1）=0的实数根为，；

∴不等式（3x+1）（2x-1）＞0的解集为{x|或}．

题型：填空题

填空题

不等式-2x2-x+6≥0的解集是______．

正确答案

[-2，]

解析

解：不等式-2x2-x+6≥0可化为

2x2+x-6≤0，

解得-2≤x≤；

∴该不等式的解集是[-2，]．

故答案为：[-2，]．

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=ax2+bx．

（1）若f（x）＞2的解集为（1，2），求a、b的值；

（2）若1≤f（1）≤2，3≤f（-1）≤4，求f（2）的取值范围．

正确答案

解：（1）∵ax2+bx＞2的解集为（1，2），

∴a＜0，1，2是一元二次方程ax2+bx-2=0的两个实数根，

∴1+2=-，1×2=，解得a=-1，b=3．

∴a=-1，b=3．

（2）∵1≤f（1）≤2，3≤f（-1）≤4，

∴1≤a+b≤2，3≤a-b≤4，

设f（2）=4a+2b=m（a+b）+n（a-b）=（m+n）a+（m-n）b．

∴，解得m=3，n=1．

∴3≤3（a+b）≤6，3≤a-b≤4，

6≤4a+2b≤10．

∴6≤f（2）≤10．

即f（2）∈[6，10]．

解析

解：（1）∵ax2+bx＞2的解集为（1，2），

∴a＜0，1，2是一元二次方程ax2+bx-2=0的两个实数根，

∴1+2=-，1×2=，解得a=-1，b=3．

∴a=-1，b=3．

（2）∵1≤f（1）≤2，3≤f（-1）≤4，

∴1≤a+b≤2，3≤a-b≤4，

设f（2）=4a+2b=m（a+b）+n（a-b）=（m+n）a+（m-n）b．

∴，解得m=3，n=1．

∴3≤3（a+b）≤6，3≤a-b≤4，

6≤4a+2b≤10．

∴6≤f（2）≤10．

即f（2）∈[6，10]．

题型：单选题

单选题

不等式x2-x-2＞0的解集为（　　）

A（-1，2）

B（-∞，-1）∪（2，+∞）

C（-1，2]

D（-1，2）

正确答案

解析

解：∵不等式x2-x-2＞0可化为

（x-2）（x+1）＞0，

解得x＞2，或x＜-1；

∴原不等式的解集为（-∞，-1）∪（2，+∞）．

故答案为：．

题型：单选题

单选题

不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈Z）的解集为（），则a+b的值可能为（　　）

A10

B-10

C14

D-14

正确答案

解析

解：因为不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈Z）的解集为（），

所以a＜0，且，，解得b=，c=

由于a，b，c∈Z，b=，故a只能为6的倍数，当a=-12时，b=-2，

此时a+b=-14

故选D．

题型：填空题

填空题

已知不等式ax2+bx-1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，则实数a=______．

正确答案

解析

解：∵等式ax2+bx-1＞0的解集为（x|3＜x＜4}，

∴3，4是方程ax2+bx-1=0的两个实根，

则=12，

解得a=-，

故答案为：-．

题型：简答题

简答题

已知不等式ax2-bx-1≥0的解集为[-，-]，求不等式x2-bx-a＜0的解集．

正确答案

解：由题意ax2-bx-1=0的两根为-，-，

∴，解得，∴x2-bx-a＜0为x2-5x+6＜0，其解集为2＜x＜3．

解析

解：由题意ax2-bx-1=0的两根为-，-，

∴，解得，∴x2-bx-a＜0为x2-5x+6＜0，其解集为2＜x＜3．

题型：填空题

填空题

不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅的充要条件是______．

正确答案

a＞0且b2-4ac≤0

解析

解：若不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，

即二次函数y=ax2+bx+c开口向上，和x轴至少1个交点，

则，

故答案为：a＞0且b2-4ac≤0．

题型：填空题

填空题

已知关于x的不等式（ax-a2-4）（x-4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则n最小值为______．

正确答案

解析

解：当a＜0时，（x-）（x-4）＜0，

∵a＜0，

∴-a＞0，

∴-a-≥2=4（当且仅当a=-2时取等号），

∴-4≤a+＜0，

故解集为A=（a+，4），A中共含有：-3，-2，-1，0，1，2，3，共7个整数；

a=0时，-4（x-4）＞0，解集为A=（-∞，4），整数解有无穷多，故a=0不符合条件；

a＞0时，（x-）（x-4）＞0，同理可证a+≥4，

∴解集A为（a+，+∞）∪（-∞，4），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；

综上：n最小值为7．

故答案为：7．

题型：简答题

简答题

已知集合A={x|x2-4x-5≤0}，B={x|x2-2x-m＜0}．

（1）当m=3时，求A∩∁RB；

（2）若A∩B={x|-1≤x＜4}，求实数m的值．

正确答案

解：（1）A={x|x2-4x-5≤0}={x|-1≤x≤5}，

当m=3时，B={x|-1＜x＜3}，

则∁RB={x|x≤-1或x≥3}，

∴A∩∁RB={x|x=-1或3≤x≤5}．

（2）∵A∩B={x|-1≤x＜4}，

∴x=4是方程x2-2x-m=0的一个根，

∴有42-2×4-m=0，解得m=8，

此时B={x|-2＜x＜4}符合题意．

解析

解：（1）A={x|x2-4x-5≤0}={x|-1≤x≤5}，

当m=3时，B={x|-1＜x＜3}，

则∁RB={x|x≤-1或x≥3}，

∴A∩∁RB={x|x=-1或3≤x≤5}．

（2）∵A∩B={x|-1≤x＜4}，

∴x=4是方程x2-2x-m=0的一个根，

∴有42-2×4-m=0，解得m=8，

此时B={x|-2＜x＜4}符合题意．

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