- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
设关于x的不等式ax2+8（a+1）x+7a+16≥0，（a∈Z），只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为______．
正确答案
-10
解析
解：设y=ax2+8（a+1）x+7a+16，其图象为抛物线．
对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0而整数解只有有限个，所以a＜0．
因为0为其中的一个解可以求得a≥-
则不等式为-2x2-8x+2≥0和-x2+9≥0，可分别求得-
∵x为整数，∴x=-4，-3，-2，-1，0和x=-3，-2，-1，0，1，2，3
∴全部不等式的整数解的和为-10
故答案为：-10
已知函数f（x）=ax2-x-c，且不等式=ax2-x-c＞0的解集为{x|-2＜x＜1}，则函数y=f（-x）的图象为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=ax2-x-c，且不等式ax2-x-c＞0的解集为{x|-2＜x＜1}，
∴a＜0，方程ax2-x-c=0的两个根为-2和1，
-2+1=a，-2×1=-
∴a=-1，c=-2，
∴f（x）=ax2-x-c=-x2-x+2，
∴f（-x）=-x2+x+2，其图象开口向下，与x交点（-1，0）（2，0），
故选B．
若m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
正确答案
解析
解：1-（x-a）（x-b）=0即为（x-a）（x-b）-1=0
令f（x）=（x-a）（x-b）-1，g（x）=（x-a）（x-b）
∴f（x）的图象是g（x）的图象向下平移1个单位
又m，n是f（x）的两个零点，a，b是g（x）的两个零点；
∴m＜a＜b＜n
故选A
不等式x-2y+6＜0表示的区域在直线x-2y+6=0的（ ）
正确答案
解析
解：过点（-6，0）和（0，3）作出直线x-2y+6=0，
把原点（0，0）代入得x-2y+6＞0，
∴不等式x-2y+6＜0表示的平面区域是不含原点的半平面，
∴不等式x-2y+6＜0表示的平面区域在直线x-2y+6=0的左上方．
故选B．
已知不等式x2+（m+1）x+m2＞0的解集为R，则实数m的取值范围为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵不等式x2+（m+1）x+m2＞0对一切实数x恒成立，
根据二次函数y=x2+（m+1）x+m2的图象的性质，
∴△＜0，即（m+1）2-4m2＜0，
即（m-1）（m+
解为 m＞1或 
故选A．
若关于x的不等式2-x2＞|x-a|至少有一个负数解，则a的取值范围为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：|x-a|＜2-x2且 0＜2-x2
在同一坐标系画出y=2-x2（x＜0，y＞0）和 y=|x|两个图象
将绝对值函数y=|x|向右移动当左支经过 （0，2）点，a=2
将绝对值函数y=|x|向左移动让右支与抛物线相切 （-
方程判别式等于0的情况解得a=-
故实数a的取值范围是（-
故选A
已知不等式ax2+bx-1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=______．
正确答案
解析
解：由题意不等式ax2+bx-1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx-1=0的两个根，
∴3+4=-
∴a=-
∴a+b=
故答案为
已知不等式ax2+bx+a2＞2的解集是
正确答案
-8
解析
解：∵不等式ax2+bx+a2＞2的解集是
∴
∴
∴
∵△=b2-4a（a2-2）＞0，且a＜0
∴
∴ab=-8
故答案为：-8
已知不等式x2-3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}
（1）求t，m的值；
（2）若函数f（x）=-x2+ax+4在区间（-∞，1]上递增，求关于x的不等式loga（-mx2+3x+2-t）＜0的解集．
正确答案
解：（1）∵不等式x2-3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}
∴
（2）∵f（x）=
∴
又
由a≥2，可知0＜-2x2+3x＜1
由2x2-3x＜0，得0＜x＜
由2x2-3x+1＞0得x＜
故原不等式的解集为{x|0＜x＜
解析
解：（1）∵不等式x2-3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}
∴
（2）∵f（x）=
∴
又
由a≥2，可知0＜-2x2+3x＜1
由2x2-3x＜0，得0＜x＜
由2x2-3x+1＞0得x＜
故原不等式的解集为{x|0＜x＜
已知不等式ax2-x+b＜0的解集是{x|-1＜x＜2}则a，b的值为（ ）
正确答案
解析
解：∵不等式ax2-x+b＜0的解集是{x|-1＜x＜2}，
∴a＞0，且2，-1是方程ax2-x+b=0的两根
∴-1+2=
解得a=1，b=-2．
故选A．
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