- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知二次函数f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜8}．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x＞0时，不等式f（x）-mx＞0恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜8}．
∴f（x）=0的两个根为2与8
则2+8=-a，2×8=b
即a=-10，b=16
∴f（x）=x2-10x+16
（2）若x＞0时，不等式f（x）-mx＞0恒成立
即若x＞0时，不等式x2-（10+m）x+16＞0恒成立
则m＜x+
∴m＜（x+
∴m＜-2
解析
解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜8}．
∴f（x）=0的两个根为2与8
则2+8=-a，2×8=b
即a=-10，b=16
∴f（x）=x2-10x+16
（2）若x＞0时，不等式f（x）-mx＞0恒成立
即若x＞0时，不等式x2-（10+m）x+16＞0恒成立
则m＜x+
∴m＜（x+
∴m＜-2
已知不等式2ax2-x+b＜0的解集是
正确答案
-2
解析
解：∵不等式2ax2-x+b＜0的解集是
∴
故答案为-2．
（1）求函数f（x）=
（2）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求函数f（x2）的定义域
（3）已知函数f[lg（x+1）]的定义域是[0，9]，求函数f（2x）的定义域．
正确答案
解：（1）∵函数f（x）=
∴
解得
即-3＜x＜0，或2＜x＜3，
∴f（x）的定义域是（-3，0）∪（2，3）；
（2）∵函数f（x）的定义域为[0，1]，
令x2∈[0，1]，
解得x∈[-1，0]，或x∈[0，1]，
∴函数f（x2）的定义域是[-1，0]∪[0，1]；
（3）∵函数f[lg（x+1）]的定义域是[0，9]，
∴x∈[0，9]，
∴x+1∈[1，10]，
∴lg（x+1）∈[0，1]，
令2x∈[0，1]，
解得x∈（-∞，0]，
∴函数f（2x）的定义域是（-∞，0]．
解析
解：（1）∵函数f（x）=
∴
解得
即-3＜x＜0，或2＜x＜3，
∴f（x）的定义域是（-3，0）∪（2，3）；
（2）∵函数f（x）的定义域为[0，1]，
令x2∈[0，1]，
解得x∈[-1，0]，或x∈[0，1]，
∴函数f（x2）的定义域是[-1，0]∪[0，1]；
（3）∵函数f[lg（x+1）]的定义域是[0，9]，
∴x∈[0，9]，
∴x+1∈[1，10]，
∴lg（x+1）∈[0，1]，
令2x∈[0，1]，
解得x∈（-∞，0]，
∴函数f（2x）的定义域是（-∞，0]．
在R上定义运算*：a*b=2ab+2a+b，且f（x）=（x-1）*（-x）则不等式f（x）＜-1的解集为______．
正确答案
（-∞，
解析
解：根据题意，得；
f（x）=（x-1）*（-x）
=2（x-1）（-x）+2（x-1）+（-x）
=-2x2+3x-2，
∴不等式f（x）＜-1可化为
-2x2+3x-2＜-1，
整理得2x2-3x+1＞0，
即（2x-1）（x-1）＞0；
解得x＜
∴该不等式的解集为（-∞，
故答案为：（-∞，
不等式x2＞x的解集为______．
正确答案
（-∞，0）∪（1，+∞）
解析
解：不等式x2＞x化为：x2-x＞0，
可因式分解为x（x-1）＞0，
对应方程的实数根为：x1=0，x2=1，
不等式x2＞x的解集为：（-∞，0）∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，0）∪（1，+∞）．
若关于x的不等式ax2+bx-1＜0的解集为{x|-1＜x＜2}，则a、b分别为______．
正确答案
解析
解：由题意可知，-1、2是方程ax2+bx-1=0的两根，且a＞0，
∴
故答案为：
不等式6x2-x≤1的解集为______．
正确答案
{x|-
解析
解：不等式6x2-x≤1可化为
6x2-x-1≤0，
即（2x-1）（3x+1）≤0，
解得-
∴原不等式的解集为{x|-
故答案为：{x|-
解不等式：x＞
正确答案
解：不等式x＞
即
它等价于
或
解①得x＞1，
解②得-1＜x＜0；
所以原不等式的解集是{x|-1＜x＜0或x＞1}．
解析
解：不等式x＞
即
它等价于
或
解①得x＞1，
解②得-1＜x＜0；
所以原不等式的解集是{x|-1＜x＜0或x＞1}．
解关于x的不等式：
正确答案
解：原不等式
整理可得
当a=
当0＜a＜
当a＞
解析
解：原不等式
整理可得
当a=
当0＜a＜
当a＞
（2012秋•涪城区校级期中）若关于x的不等式ax2+x+a＜0（a≠0）解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A
B
C-
Da
正确答案
解析
解：∵关于x的不等式ax2+x+a＜0（a≠0）解集为空集，∴
∴实数a的取值范围是
故选D．
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