- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知关于x的不等式x2-ax-4＞0在x∈[-2，1]时无解，则实数a的取值范围是______．
正确答案
[-3，0]
解析
解：【解法一】根据题意，得；
当x=0时，不等式为-4＞0不成立，此时a∈R；
当-2≤x＜0时，不等式化为ax＜x2-4，
即a＞x-
设f（x）=x-
∴f′（x）=1+
f（x）是单调增函数，
f（x）min=f（-2）=0，
不等式不成立时应满足a≤0；
当0＜x≤1时，不等式化为ax＜x2-4，
a＜x-
设g（x）=x-
∴g′（x）=1+
g（x）是单调增函数，g（x）max=g（1）=-3，
不等式不成立时应满足a≥0；
综上，实数a的取值范围是[-3，0]．
【解法二】根据题意，设f（x）=x2-ax-4，对应不等式在x∈[-2，1]时无解时，
应满足
即
解得-3≤a≤0；
∴a的取值范围是[-3，0]．
故答案为：[-3，0]．
已知一元二次不等式ax2-2ax+2a-3＜0，求解下列问题：
（1）当a=2时，解此不等式；
（2）若原不等式的解集为∅，求实数a的取值范围；
（3）若原不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）当a=2时，一元二次不等式为2x2-4x+1＜0，
∵△=（-4）2-4×2×1=8＞0，
且方程2x2-4x+1=0的两个实数根为x1=1-
∴此不等式的解集为{x|1-
（2）当原不等式的解集为∅时，
应满足
解得
∴实数a的取值范围是[3，+∞）；
（3）当原不等式的解集为R时，
有a=0，不等式为-3＜0，满足题意；
或
解得
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]．
解析
解：（1）当a=2时，一元二次不等式为2x2-4x+1＜0，
∵△=（-4）2-4×2×1=8＞0，
且方程2x2-4x+1=0的两个实数根为x1=1-
∴此不等式的解集为{x|1-
（2）当原不等式的解集为∅时，
应满足
解得
∴实数a的取值范围是[3，+∞）；
（3）当原不等式的解集为R时，
有a=0，不等式为-3＜0，满足题意；
或
解得
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]．
已知-1≤a≤1，解关于x的不等式：ax2-2x+a＞0．
正确答案
解：①当a=0时，原式化为-2x＞0，即x＜0；a≠0时，△=（-2）2-4a2=4（1+a）（1-a）…（1分）
②当a=-1时，△=0，原式化为-（x+1）2＞0，即 （x+1）2＜0，∴x∈∅…（2分）
③当-1＜a＜0时，△＞0，方程ax2-2x+a＞0的根为x1、2=
∴
④当0＜a＜1时，结合③知，x＜
⑤当a=1时，原式化为x2-2x+1＞0，即（x-1）2＞0，∴x∈R，且x≠1…（11分）
总之，原不等式的解集为：当a=-1时，x∈∅；当-1＜a＜0时，x∈（
当a=0时，x∈（-∞，0）；当0＜a＜1时，x∈（-∞，
当a=1时，{x|x∈R，且x≠1}…（12分）
解析
解：①当a=0时，原式化为-2x＞0，即x＜0；a≠0时，△=（-2）2-4a2=4（1+a）（1-a）…（1分）
②当a=-1时，△=0，原式化为-（x+1）2＞0，即 （x+1）2＜0，∴x∈∅…（2分）
③当-1＜a＜0时，△＞0，方程ax2-2x+a＞0的根为x1、2=
∴
④当0＜a＜1时，结合③知，x＜
⑤当a=1时，原式化为x2-2x+1＞0，即（x-1）2＞0，∴x∈R，且x≠1…（11分）
总之，原不等式的解集为：当a=-1时，x∈∅；当-1＜a＜0时，x∈（
当a=0时，x∈（-∞，0）；当0＜a＜1时，x∈（-∞，
当a=1时，{x|x∈R，且x≠1}…（12分）
x2-3x-18＞0的解集______．
正确答案
{x|x＜-3或x＞6}
解析
解：不等式x2-3x-18＞0可化为
（x-6）（x+3）＞0，
解得x＜-3或x＞6；
∴该不等式的解集为{x|x＜-3或x＞6}．
故答案为：{x|x＜-3或x＞6}．
已知全集U=R，集合A={x|x2-x-2＞0，x∈R}，B=（0，+∞），则（CUA）∩B=______．
正确答案
（0，2]
解析
解：将集合A中的不等式x2-x-2＞0，
因式分解得：（x-2）（x+1）＞0，
可化为：
解得：x＞2或x＜-1，
∴集合A=（-∞，-1）∪（2，+∞），又全集U=R，
∴CUA=[-1，2]，又B=（0，+∞），
则（CUA）∩B=（0，2]．
故答案为：（0，2]
a为何实数时，不等式（a-4）x2+10x+a＜4的解为一切实数．
正确答案
解：不等式（a-4）x2+10x+a＜4可化为
（a-4）x2+10x+（a-4）＜0，
应满足
即
解得
即a＜-1；
∴a的取值范围是{a|a＜-1}．
解析
解：不等式（a-4）x2+10x+a＜4可化为
（a-4）x2+10x+（a-4）＜0，
应满足
即
解得
即a＜-1；
∴a的取值范围是{a|a＜-1}．
不等式（
A{x|
B{x|x＞
C{x|x＜
D{x|x＜
正确答案
解析
解：不等式（
（x-
解得
∴原不等式的解集为{x|
故选：A．
解不等式（x+4）（-x-1）＜0．
正确答案
解：不等式（x+4）（-x-1）＜0可化为
（x+4）（x+1）＞0，
解得x＜-4或x＞-1，
∴不等式的解集为{x|x＜-4或x＞-1}．
解析
解：不等式（x+4）（-x-1）＜0可化为
（x+4）（x+1）＞0，
解得x＜-4或x＞-1，
∴不等式的解集为{x|x＜-4或x＞-1}．
已知二次不等式x2+ax+b＜0的解集为（-1，2），则bx-a≤0的解集为______．
正确答案
{x|x≥
解析
解：∵二次不等式x2+ax+b＜0的解集为（-1，2），
∴对应方程x2+ax+b=0的实数根为-1和2，
∴
解得a=-1，b=-2；
∴不等式bx-a≤0可化为-2x+1≤0，
解得x≥
∴该不等式的解集为{x|x≥
故答案为：{x|x≥
x2-2x+m＜0的解集是（-1，3），则m的值为（ ）
正确答案
解析
解：∵x2-2x+m＜0的解集是（-1，3），
∴-1，3是方程x2-2x+m=0的实数根，
∴m=-1×3=-3．
故选A．
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