- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
在R上定义运算⊗：a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗（x-2）＜0的实数x的取值范围为（ ）
正确答案
解析
解：∵x⊙（x-2）=x（x-2）+2x+x-2＜0，
∴化简得x2+x-2＜0即（x-1）（x+2）＜0，
得到x-1＜0且x+2＞0①或x-1＞0且x+2＜0②，解出①得-2＜x＜1；解出②得x＞1且x＜-2无解．
∴-2＜x＜1．
故选B
关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是______．
正确答案
（
解析
解：设函数f（x）=（a2-1）x2-（a-1）x-1．由题设条件关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集为R．
可得对任意的x属于R．都有f（x）＜0．
又当a≠1时，函数f（x）是关于x的抛物线．故抛物线必开口向下，且于x轴无交点．
故满足
故解得
当a=1时．f（x）=-1．成立．
综上，a的取值范围为（
故答案为：（
当a＜0时，解不等式ax2-（2a+2）x+4＞0．
正确答案
解：不等式ax2-（2a+2）x+4＞0可化为
（ax-2）（x-2）＞0，
∵a＜0，∴（x-
又∵
解不等式得
∴原不等式的解集为{x|
解析
解：不等式ax2-（2a+2）x+4＞0可化为
（ax-2）（x-2）＞0，
∵a＜0，∴（x-
又∵
解不等式得
∴原不等式的解集为{x|
不等式x2-x-2＜0的解集为______．
正确答案
（-1，2）
解析
解：不等式x2-x-2＜0化为（x-2）（x+1）＜0，解得-1＜x＜2．
∴不等式x2-x-2＜0的解集为（-1，2）．
故答案为：（-1，2）．
如果关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜m或x＞n（其中m＜n＜0），求关于x的不等式cx2-bx+a＞0的解集．
正确答案
解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜m或x＞n（其中m＜n＜0），
∴a＜0，且m+n=-
∴c＜0，
∴关于x的不等式cx2-bx+a＞0可化为x2-
∴
且
又-
∴不等式cx2-bx+a＞0的解集为（-
解析
解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜m或x＞n（其中m＜n＜0），
∴a＜0，且m+n=-
∴c＜0，
∴关于x的不等式cx2-bx+a＞0可化为x2-
∴
且
又-
∴不等式cx2-bx+a＞0的解集为（-
设p：16-x2＜0，q：x2+x-6＞0，则¬q是¬p的（ ）
正确答案
解析
解：p：16-x2＜0，所以x∈（-∞，-4）∪（4，+∞），所以¬p：x∈[-4，4]；
q：x2+x-6＞0，解得x∈（-∞，-3）∪（2，+∞），所以¬q：x∈[-3，2]．
所以¬q是¬p的充分不必要条件．
故选A．
（1）已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是[-
（2）若不等式ax2+4x+a＞1-2x2对任意x∈R均成立，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）∵不等式ax2-bx-1≥0的解集是[-
∴方程ax2-bx-1=0的两个实数根是-
∴
解得a=-6，b=5；
∴不等式-x2+bx+a＞0化为x2-5x+6＜0，
解得2＜x＜3；
∴不等式-x2+bx+a＞0的解集是{x|2＜x＜3}．
（2）∵不等式ax2+4x+a＞1-2x2可化为
（a+2）x2+4x+a-1＞0，
对任意的实数x均成立，
∴
即
解得a＞2；
∴实数a的取值范围是{a|a＞2}．
解析
解：（1）∵不等式ax2-bx-1≥0的解集是[-
∴方程ax2-bx-1=0的两个实数根是-
∴
解得a=-6，b=5；
∴不等式-x2+bx+a＞0化为x2-5x+6＜0，
解得2＜x＜3；
∴不等式-x2+bx+a＞0的解集是{x|2＜x＜3}．
（2）∵不等式ax2+4x+a＞1-2x2可化为
（a+2）x2+4x+a-1＞0，
对任意的实数x均成立，
∴
即
解得a＞2；
∴实数a的取值范围是{a|a＞2}．
已知函数f（x）=x2-2x-8，g（x）=2x2-4x-16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围．
正确答案
解：由g（x）=2x2-4x-16＜0，得x2-2x-8＜0，
即（x+2）（x-4）＜0，解得-2＜x＜4．
所以不等式g（x）＜0的解集为{x|-2＜x＜4}；
（2）因为f（x）=x2-2x-8，
当x＞2时，f（x）≥（m+2）x-m-15成立，
则x2-2x-8≥（m+2）x-m-15成立，
即x2-4x+7≥m（x-1）．
所以对一切x＞2，均有不等式
而
所以实数m的取值范围是（-∞，2]．
解析
解：由g（x）=2x2-4x-16＜0，得x2-2x-8＜0，
即（x+2）（x-4）＜0，解得-2＜x＜4．
所以不等式g（x）＜0的解集为{x|-2＜x＜4}；
（2）因为f（x）=x2-2x-8，
当x＞2时，f（x）≥（m+2）x-m-15成立，
则x2-2x-8≥（m+2）x-m-15成立，
即x2-4x+7≥m（x-1）．
所以对一切x＞2，均有不等式
而
所以实数m的取值范围是（-∞，2]．
已知关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|-3＜x＜2}，则实数a，b的值分别为（ ）
正确答案
解析
解：∵不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|-3＜x＜2}，
∴方程x2+ax+b=0的两实数根是-3和2，
∴
解得a=1，b=-6．
故选：B．
已知0＜a＜1，关于x的不等式（x-a）（x-
A{x|x＜a或x＞
B{a|x＞a}
C{x|x＜
D{x|x＜
正确答案
解析
解：∵0＜a＜1，
∴a＜
不等式（x-a）（x-
∴x＞
故选A；
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