- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
定义在R上的函数f（x）满足对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）的单调性，并求当x∈[-3，3]时，f（x）的最大值及最小值；
（3）在b＞
正确答案
解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．…（1分）
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．…（3分）
（2）任取x1＜x2，则x2-x1＞0．∴由已知得f（x2-x1）＜0．
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）＞0．
∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数．…（6分）
∵f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，
∴
∴当x∈[-3，3]时，f（x）max=6，f（x）min=-6．…（8分）
（3）不等式可化为：
而2f（x）=f（x）+f（x）=f（2x），
得
即
∵y=f（x）在R上是减函数，
∴
解析
解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．…（1分）
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．…（3分）
（2）任取x1＜x2，则x2-x1＞0．∴由已知得f（x2-x1）＜0．
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）＞0．
∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数．…（6分）
∵f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，
∴
∴当x∈[-3，3]时，f（x）max=6，f（x）min=-6．…（8分）
（3）不等式可化为：
而2f（x）=f（x）+f（x）=f（2x），
得
即
∵y=f（x）在R上是减函数，
∴
不等式x（x-2）≥0的解集是（ ）
正确答案
解析
解：由不等式可得
解可得，x≥2或x≤0
∴不等式的解集为{x|x≥2或x≤0}
故选D
（2015秋•嘉峪关校级期中）不等式-x2+5x+6＞0的解集是______．
正确答案
（-1，6）
解析
解：不等式-x2+5x+6＞0可化为
x2-5x-6＜0，
即（x+1）（x-6）＜0；
该不等式对应方程的实数根为-1和6，
所以该不等式的解集是（-1，6）．
故答案为：（-1，6）．
解不等式组：
正确答案
解：由题意得，
所以
由a为正实数进行分类讨论如下：
当0＜a＜1时，不等式的解集是∅；
当a=1时，不等式的解集是{-1}；
当1＜a＜4时，不等式的解集是[-a，-1]；
当a=4时，不等式的解集是{x|-4≤x≤-1或x=4]；
当a＞4时，不等式的解集是[-a，-1]∪[4，a]．
解析
解：由题意得，
所以
由a为正实数进行分类讨论如下：
当0＜a＜1时，不等式的解集是∅；
当a=1时，不等式的解集是{-1}；
当1＜a＜4时，不等式的解集是[-a，-1]；
当a=4时，不等式的解集是{x|-4≤x≤-1或x=4]；
当a＞4时，不等式的解集是[-a，-1]∪[4，a]．
解不等式：ax2+2x+2-a＞0．
正确答案
解：当a=0时，不等式化为2x+2＞0，解得x＞-1，此时不等式的解集为{x|x＞-1}；
当a≠0时，△=4-4a（2-a）=4（a-1）2≥0．
不等式化为（x+1）[ax+（2-a）]＞0．
当a=1时，不等式化为（x+1）2＞0，解得x≠-1，此时不等式的解集为{x|x≠-1}；
当a＞0且a≠1时，不等式化为（x+1）（x+
当a＜0时，不等式化为（x+1）（x+
综上可得：当a=0时，不等式的解集为{x|x＞-1}；
当a≠0时，当a=1时，不等式的解集为{x|x≠-1}；
当a＞0且a≠1时，不等式的解集为{x|
当a＜0时，不等式的解集为{x|-1＞
解析
解：当a=0时，不等式化为2x+2＞0，解得x＞-1，此时不等式的解集为{x|x＞-1}；
当a≠0时，△=4-4a（2-a）=4（a-1）2≥0．
不等式化为（x+1）[ax+（2-a）]＞0．
当a=1时，不等式化为（x+1）2＞0，解得x≠-1，此时不等式的解集为{x|x≠-1}；
当a＞0且a≠1时，不等式化为（x+1）（x+
当a＜0时，不等式化为（x+1）（x+
综上可得：当a=0时，不等式的解集为{x|x＞-1}；
当a≠0时，当a=1时，不等式的解集为{x|x≠-1}；
当a＞0且a≠1时，不等式的解集为{x|
当a＜0时，不等式的解集为{x|-1＞
关于x的不等式x2-2ax-8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2-x1=15，则a=（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：因为关于x的不等式x2-2ax-8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），
所以x1+x2=2a…①，
x1•x2=-8a2…②，
又x2-x1=15…③，
①2-4×②可得（x2-x1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a=
因为a＞0，所以a=
故选：A．
若不等式ax2+2x+c＞0和（2x-1）（3x+1）＜0有相同的解集，则不等式2x-cx2-a＞0的解集是（ ）
A（-2，3）
B（3，+∞）∪（-∞，-2）
C（
D（-
正确答案
解析
解：由（2x-1）（3x+1）＜0解得
∵不等式ax2+2x+c＞0和（2x-1）（3x+1）＜0有相同的解集，
∴不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|
∴
∴
∴不等式2x-cx2-a＞0化为2x-2x2+12＞0，即x2-x-6＜0．
解得-2＜x＜3．
∴不等式2x-cx2-a＞0的解集是（-2，3）．
故选：A．
已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是
正确答案
解：由x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是
∴
∴
∴
即
则不等式ax2-bx+c≤0的解集为：
解析
解：由x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是
∴
∴
∴
即
则不等式ax2-bx+c≤0的解集为：
已知一次函数f（x）=（m2-1）x+m2-3m+2，且f（1）=0．求：
（1）m的值；
（2）若f（x-1）≥x2，求x的取值范围．
正确答案
解：（1）由f（1）=0得，（m2-1）+m2-3m+2=0，
即2m2-3m+1=0，解得m=
当m=1时，f（x）不是一次函数，则m=
（2）由（1）得，f（x）=
所以f（x-1）≥x2化为：4x2+3x-6≤0，
则方程4x2+3x-6=0的判别式△=9-4×4×（-6）=105，
方程的根是x1=
不等式4x2+3x-6≤0的解集是：[
解析
解：（1）由f（1）=0得，（m2-1）+m2-3m+2=0，
即2m2-3m+1=0，解得m=
当m=1时，f（x）不是一次函数，则m=
（2）由（1）得，f（x）=
所以f（x-1）≥x2化为：4x2+3x-6≤0，
则方程4x2+3x-6=0的判别式△=9-4×4×（-6）=105，
方程的根是x1=
不等式4x2+3x-6≤0的解集是：[
不等式（x+3）2＜1的解集是（ ）
正确答案
解析
解：【方法一】不等式（x+3）2＜1可化为x2+6x+8＜0，
（x+4）（x+2）＜0，
解得-4＜x＜-2，
∴该不等式的解集为{x|-4＜x＜-2}．
【方法二】不等式（x+3）2＜1可化为-1＜x+3＜1，
两边都减去3，得-4＜x＜-2，
∴该不等式的解集为{x|-4＜x＜-2}．
故选：C．
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