一元二次不等式及其解法
共4411题

一元二次不等式及其解法
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题型：简答题

简答题

设集合A={x|1＜x＜3}，又设B是关于x的不等式组的解集，试确定a，b的范围，使得A⊆B．

正确答案

解：设f（x）=x2-2x+a，g（x）=x2-2bx+5

因为A⊆B，A={x|1＜x＜3}，

所以f（x）与g（x）都与x轴有两个交点即△=（-2）2-4a＞0，解得a＜1；△=（-2b）2-20＞0，解得b＞或b＜-，

且f（1）≤0，f（3）≤0，即1-2+a≤0且9-6+a≤0，解得a≤-3；且g（1）≤0，g（3）≤0即1-2b+5≤0且9-6b+5≤0，解得b≥3．

所以满足条件的a，b的范围为：a≤-3，b≥3．

解析

解：设f（x）=x2-2x+a，g（x）=x2-2bx+5

因为A⊆B，A={x|1＜x＜3}，

所以f（x）与g（x）都与x轴有两个交点即△=（-2）2-4a＞0，解得a＜1；△=（-2b）2-20＞0，解得b＞或b＜-，

且f（1）≤0，f（3）≤0，即1-2+a≤0且9-6+a≤0，解得a≤-3；且g（1）≤0，g（3）≤0即1-2b+5≤0且9-6b+5≤0，解得b≥3．

所以满足条件的a，b的范围为：a≤-3，b≥3．

题型：单选题

单选题

关于x的不等式kx2-2x+1＞0的解集是{x∈R|x≠}，则k的值是（　　）

B-1

C±1

D-1≤x≤1

正确答案

解析

解：由于k≠0，故可看作二次函数，y=kx2-2x+1，

当k＜0时，开口向下，二次函数大于0总会要限定x范围的，不行；

当k＞0时，x的不等式kx2-2x+1＞0的解集是{x∈R|x≠}，∴△=0，

解得k=1，

故选：A．

题型：简答题

简答题

若不等式x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式bx2-ax-1＞0的解集．

正确答案

解：∵不等式x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，

∴2，3是一元二次方程x2-ax-b=0的实数根，

∴，解得

∴不等式bx2-ax-1＞0可化为-6x2-5x-1＞0，

即6x2+5x+1＜0，

∵方程6x2+5x+1=0的解为x=-或x=-，

∴不等式bx2-ax-1＞0的解集为{x|-＜x＜-}．

解析

解：∵不等式x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，

∴2，3是一元二次方程x2-ax-b=0的实数根，

∴，解得

∴不等式bx2-ax-1＞0可化为-6x2-5x-1＞0，

即6x2+5x+1＜0，

∵方程6x2+5x+1=0的解为x=-或x=-，

∴不等式bx2-ax-1＞0的解集为{x|-＜x＜-}．

题型：填空题

填空题

（2015春•九江期末）设函数y=ln（-x2-2x+8）的定义域为A，函数y=x+-1的值域为B，不等式ax2+（4a-）x-≤0（a≠0且a∈R）的解集为C；

（1）求A∩B；

（2）若C⊆∁RA，求a的取值范围．

正确答案

解析

解：（1）由-x2-2x+8＞0，解得A={x|-4＜x＜2}；

由y=x+-1，当x＞0时，y≥-1=1，当且仅当x=1时取等号；

同理当x＜0时，x≤-3．

∴函数y=x+-1的值域B={x|x≤-3或x≥1}．∴A∩B={x|-4＜x≤-3，或1≤x＜2}．

（2）∁RA={x|x≤-4或x≥2}，∵ax2+（4a-）x-≤0（a≠0且a∈R），

∴，①当a＞0时，由≤0，解得C=，不满足C⊆∁RA，舍去；

②当a＜0时，由≥0，解得C=，

∵C⊆∁RA，∴≥2，解得≤a＜0，

∴a的取值范围是．

题型：单选题

单选题

不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜-2}，则m，n的值分别是（　　）

A2，12

B2，-2

C2，-12

D-2，-12

正确答案

解析

解：∵不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜-2}，

∴一元二次方程2x2+mx+n=0的两个根为3，-2．

由根与系数关系得：，

解得：m=-2，n=-12．

故选：D．

题型：单选题

单选题

不等式x2-5x+6≤0的解集为（　　）

A[2，3]

B[-1，6]

C（-∞，2]∪[3，+∞）

D（-∞，-1]∪[6，+∞）

正确答案

解析

解：不等式x2-5x+6≤0化为（x-2）（x-3）≤0，

解得2≤x≤3．

∴原不等式的解集为[2，3]．

故选A．

题型：单选题

单选题

关于x的不等式x2-x-5＞3x的解集是（　　）

A{x|x≥5或x≤-1}

B{x|x＞5或x＜-1}

C{x|-1＜x＜5}

D{x|-1≤x≤5}

正确答案

解析

解：不等式可化为：x2-4x-5＞0

∴（x-5）（x+1）＞0

∴x＞5或x＜-1

∴不等式x2-x-5＞3x的解集是{x|x＞5或x＜-1}

故选B．

题型：填空题

填空题

若函数f（x）=，则不等式f（x）≥-2的解集为______•

正确答案

{x|-2≤x＜1或x≥3}

解析

解：由已知，f（x）≥-2得到①和②，

解不等式组①得-2≤x＜1，

解不等式组②得x≥3，

所以不等式f（x）≥-2的解集为{x|-2≤x＜1或x≥3}；

故答案为：{x|-2≤x＜1或x≥3}．

题型：简答题

简答题

设A={x|x2-2x-8＜0}，B={x|x2+2x-3＞0}C={x|x2-3ax+2a2＜0}

（1）求A∩B与（∁RA）∩∁RB）；

（2）若C⊆A∩B，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（1）A={x|-2＜x＜4}，B={x|x＜-3或x＞1}．

∴A∩B={x|1＜x＜4}．

CRA={x|x≤-2或x≥4}，CRB={x|-3≤x≤1}．

（CRA）∩（CRB）={x|-3≤x≤-2}．

（2）若C⊆（A∩B），

对于集合C，方程x2-2ax+2a2=0，的两根分别为x=2a，a．

①当a=0时，C=∅符合条件．

②当a＜0时，2a＜a，∴C={x|2a＜x＜a}不符合条件；

③当a＞0时，2a＞a，C={x|a＜x＜2a}，此时，解得1≤a≤2．

综上所述：a=0或1≤a≤2．

解析

解：（1）A={x|-2＜x＜4}，B={x|x＜-3或x＞1}．

∴A∩B={x|1＜x＜4}．

CRA={x|x≤-2或x≥4}，CRB={x|-3≤x≤1}．

（CRA）∩（CRB）={x|-3≤x≤-2}．

（2）若C⊆（A∩B），

对于集合C，方程x2-2ax+2a2=0，的两根分别为x=2a，a．

①当a=0时，C=∅符合条件．

②当a＜0时，2a＜a，∴C={x|2a＜x＜a}不符合条件；

③当a＞0时，2a＞a，C={x|a＜x＜2a}，此时，解得1≤a≤2．

综上所述：a=0或1≤a≤2．

题型：填空题

填空题

若关于x的不等式ax2-ax+1＞0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．

正确答案

[0，4）

解析

解：当a=0时，不等式即1＞0，满足条件．

当a≠0时，要使不等式ax2+ax+1＞0对一切x∈R恒成立，

需，解得 0＜a＜4．

综上可得，实数a的取值范围是[0，4 ），

故答案为[0，4 ）．

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