证明不等式的基本方法_章节学习

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题型：简答题

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简答题

当x＞0时，证明：不等式ex＞1+x+x2成立．

正确答案

证明：令，

则f‘（x）=ex-1-x，

再令g（x）=f'（x），则g'（x）=ex-1，

∵x＞0，∴ex-1＞0，即g'（x）＞0，

∴g（x）在[0，+∞）上为增函数，

由于x＞0，则g（x）＞g（0）=e0-1=0，即f'（x）＞0，

∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，

由x＞0知，，

即ex-（1+x+x2）＞0，

∴ex＞1+x+x2，得证．

解析

证明：令，

则f‘（x）=ex-1-x，

再令g（x）=f'（x），则g'（x）=ex-1，

∵x＞0，∴ex-1＞0，即g'（x）＞0，

∴g（x）在[0，+∞）上为增函数，

由于x＞0，则g（x）＞g（0）=e0-1=0，即f'（x）＞0，

∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，

由x＞0知，，

即ex-（1+x+x2）＞0，

∴ex＞1+x+x2，得证．

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题型：简答题

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简答题

已知a，b，c，d满足a+b=cd=1，求证：（ac+bd）（ad+bc）≥1．

正确答案

证明：（ac+bd）（ad+bc）=（a2+b2）cd+ab（c2+d2）≥（a2+b2）cd+2abcd=（a+b）2cd，

因为a，b，c，d满足a+b=cd=1，

所以（a+b）2cd=1，

所以：（ac+bd）（ad+bc）≥1．

解析

证明：（ac+bd）（ad+bc）=（a2+b2）cd+ab（c2+d2）≥（a2+b2）cd+2abcd=（a+b）2cd，

因为a，b，c，d满足a+b=cd=1，

所以（a+b）2cd=1，

所以：（ac+bd）（ad+bc）≥1．

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题型：简答题

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简答题

已知x，y，z∈R+，求证：

（1）（x+y+z）3≥27xyz；

（2）；

（3）（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．

正确答案

证明：（1）∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3，当且仅当x=y=z时，取等号，∴（x+y+z）3≥27xyz；

（2）∵x，y，z∈R+，∴≥=3，≥=3，当且仅当x=y=z时，取等号，

∴两式相乘，可得；

（3））∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3，x2+y2+z2≥3，当且仅当x=y=z时，取等号，

∴两式相乘可得（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．

解析

证明：（1）∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3，当且仅当x=y=z时，取等号，∴（x+y+z）3≥27xyz；

（2）∵x，y，z∈R+，∴≥=3，≥=3，当且仅当x=y=z时，取等号，

∴两式相乘，可得；

（3））∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3，x2+y2+z2≥3，当且仅当x=y=z时，取等号，

∴两式相乘可得（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．

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题型：简答题

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简答题

在锐角△ABC中，角A、B、C成等差数列，

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）试比较与的大小，并说明理由．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵cos（A+C）+cos（A-C）=cosAcosC-sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=2cosAcosC，

两边同时除以2可得．

（Ⅱ）解：在锐角△ABC中，因为A、B、C成等差数列，所以B=60°，A+C=120°．

又=2cosAcosC=cos（A+C）+cos（A-C）=，

==，

∴=，∴．

∵-900＜A-C＜900，A+C=120°，故有 A-C=±30°，，

当A＜C时，A=45°，C=75°，此时=＞，所以＞．

当A＞C时，A=75°，C=45°，=＞1，所以＞，

综合得＞．

解析

（Ⅰ）证明：∵cos（A+C）+cos（A-C）=cosAcosC-sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=2cosAcosC，

两边同时除以2可得．

（Ⅱ）解：在锐角△ABC中，因为A、B、C成等差数列，所以B=60°，A+C=120°．

又=2cosAcosC=cos（A+C）+cos（A-C）=，

==，

∴=，∴．

∵-900＜A-C＜900，A+C=120°，故有 A-C=±30°，，

当A＜C时，A=45°，C=75°，此时=＞，所以＞．

当A＞C时，A=75°，C=45°，=＞1，所以＞，

综合得＞．

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题型：简答题

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简答题

已知a、b、c为正数，

（1）若直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，试求2a+3b的最小值；

（2）求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc．

正确答案

解：（1）∵直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0垂直，

∴2b+a[-（b-3）]=0，即ab-3a-2b=0，

∴（a-2）（b-3）=6，

∵a、b为正数，∴a＞2，b＞3，

∴2a+3b=2（a-2）+3（b-3）+13

，

当且仅当：2（a-2）=3（b-3），即时，取“=”，

故2a+3b的最小值是25；

（2）∵a、b、c为正数，

∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）

=（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）

≥2•2•2•2

=16abc，

即（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc，

当且仅当：a=b=c=d=1时，取“=”．

解析

解：（1）∵直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0垂直，

∴2b+a[-（b-3）]=0，即ab-3a-2b=0，

∴（a-2）（b-3）=6，

∵a、b为正数，∴a＞2，b＞3，

∴2a+3b=2（a-2）+3（b-3）+13

，

当且仅当：2（a-2）=3（b-3），即时，取“=”，

故2a+3b的最小值是25；

（2）∵a、b、c为正数，

∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）

=（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）

≥2•2•2•2

=16abc，

即（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc，

当且仅当：a=b=c=d=1时，取“=”．

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题型：单选题

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单选题

若不等式（-1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A[-2，）

B（-2，）

C[-3，）

D（-3，）

正确答案

A

解析

解：当n为正偶数时，

a＜2-恒成立，又2-为增函数，其最小值为2-=

∴a＜．

当n为正奇数时，-a＜2+，即a＞-2-恒成立．

而-2-为增函数，对任意的正整数n，有-2-＜-2，

∴a≥-2．

故a∈[-2，）．

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题型：单选题

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单选题

若，则下列不等式：

①a+b＜ab

②|a|＞|b|

③a＜b

④中，

正确的不等式有（　　）

A①②

B①④

C②③

D③④

正确答案

B

解析

解：取a=-，b=-1代入验证知②，③错误．

①证明：∵＜＜0，

∴a＜0，b＜0，

∴ab＞0，a+b＜0，

∴a+b＜ab，故①正确；

④证明：∵＞0，＞0，且a≠b，

由均值不等式得 +＞2，

故④正确；

故正确的不等式有为①④．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

已知a，b，c是正常数，且a，b，c互不相等，x，y，z∈（0，+∞），求证：++≥，并指出等号成立的条件．

正确答案

证明：令=（x，y，z），=（），

则=x+y+z=a+b+c，

||2=x2+y2+z2，||2=++，

由||2•||2≥||2，

则有（x2+y2+z2）（++）≥（a+b+c）2，

即有++≥．

当且仅当a：b：c=x2：y2：z2，不等式取等号．

解析

证明：令=（x，y，z），=（），

则=x+y+z=a+b+c，

||2=x2+y2+z2，||2=++，

由||2•||2≥||2，

则有（x2+y2+z2）（++）≥（a+b+c）2，

即有++≥．

当且仅当a：b：c=x2：y2：z2，不等式取等号．

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题型：简答题

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简答题

已知：|a|≥1，x∈R．

求证：|x-1+a|+|x-a|≥1．

正确答案

证明：∵|m|+|n|≥|m-n|，

∴|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-x+a|=|2a-1|≥2|a|-1，

∵|a|≥1，

∴2|a|-1≥1，

∴|x-1+a|+|x-a|≥1．

解析

证明：∵|m|+|n|≥|m-n|，

∴|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-x+a|=|2a-1|≥2|a|-1，

∵|a|≥1，

∴2|a|-1≥1，

∴|x-1+a|+|x-a|≥1．

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题型：简答题

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简答题

已知定义y=log（x+1）F（x，y），若e＜x＜y，证明：F（x-1，y）＞F（y-1，x）

正确答案

证明：∵y=log（x+1）F（x，y），

∴F（x，y）=（1+x）y，

∴F（x-1，y）=xy，F（y-1，x）=yx，

依题意，问题转化为证明xy＞yx，

即证ylnx＞xlny，即证＞，

记h（x）=，则h′（x）=，

∵当x＞e时，h′（x）＞0，

∴函数h（x）在区间（e，+∞）上单调递减，

又∵e＜x＜y，

∴h（x）＞h（y），

即F（x-1，y）＞F（y-1，x）．

解析

证明：∵y=log（x+1）F（x，y），

∴F（x，y）=（1+x）y，

∴F（x-1，y）=xy，F（y-1，x）=yx，

依题意，问题转化为证明xy＞yx，

即证ylnx＞xlny，即证＞，

记h（x）=，则h′（x）=，

∵当x＞e时，h′（x）＞0，

∴函数h（x）在区间（e，+∞）上单调递减，

又∵e＜x＜y，

∴h（x）＞h（y），

即F（x-1，y）＞F（y-1，x）．

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题型：简答题

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简答题

用综合法证明：[sinθ（1+sinθ）+cosθ（1+cosθ）][sin（θ+）-1]=sin2θ．

正确答案

证明：∵左边=（sinθ+cosθ+1）（sinθ+cosθ-1）…（2分）

=（sinθ+cosθ）2-1…（4分）

=2sinθcosθ…（5分）

=sin2θ=右边

∴原等式成立．…（6分）

解析

证明：∵左边=（sinθ+cosθ+1）（sinθ+cosθ-1）…（2分）

=（sinθ+cosθ）2-1…（4分）

=2sinθcosθ…（5分）

=sin2θ=右边

∴原等式成立．…（6分）

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题型：填空题

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填空题

设a，b，c∈（-∞，0），则对于a+，b+，c+，下列正确的是______

①都不大于-2

②都不小于-2

③至少有一个不小于-2

④至少有一个不大于-2．

正确答案

③

解析

解：因为a，b，c∈（-∞，0），所以a++b++c+≤-6

假设三个数都小于-2

则a++b++c+＜-6

所以假设错误

所以至少有一个不小于-2

故正确的序号为③，

故答案为：③．

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题型：简答题

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简答题

求证：-≤x≤．

正确答案

证明：∵|x|≤=，

∴-≤x≤．

解析

证明：∵|x|≤=，

∴-≤x≤．

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题型：简答题

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简答题

（Ⅰ）证明：当x＞1时，2lnx＜x-；

（Ⅱ）若不等式对任意的正实数t恒成立，求正实数a的取值范围；

（Ⅲ）求证：．

正确答案

（Ⅰ）证明：令函数，定义域是{x∈R|x＞1}，

由，可知函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，

故当x＞1时，，即．

（Ⅱ）解：由于t＞0，a＞0，故不等式可化为…（*）

问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立，

构造函数，

则，

（1）当0＜a≤2时，由t＞0，a（a-2）≤0，则g‘（t）≥0即g（t）在（0，+∞）上单调递增，

则g（t）＞g（0）=0，即不等式对任意的正实数t恒成立．

（2）当a＞2时，a（a-2）＞0

因此t∈（0，a（a-2）），g'（t）＜0，函数g（t）单调递减；

t∈（a（a-2），+∞），g'（t）＞0，函数g（t）单调递增，

故，由a＞2，即a-1＞1，

令x=a-1＞1，由（Ⅰ）可知，不合题意．

综上可得，正实数a的取值范围是（0，2]．

（Ⅲ）证明：要证，即证，

由（Ⅱ）的结论令a=2，有对t＞0恒成立，

取可得不等式成立，

综上，不等式成立．

解析

（Ⅰ）证明：令函数，定义域是{x∈R|x＞1}，

由，可知函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，

故当x＞1时，，即．

（Ⅱ）解：由于t＞0，a＞0，故不等式可化为…（*）

问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立，

构造函数，

则，

（1）当0＜a≤2时，由t＞0，a（a-2）≤0，则g‘（t）≥0即g（t）在（0，+∞）上单调递增，

则g（t）＞g（0）=0，即不等式对任意的正实数t恒成立．

（2）当a＞2时，a（a-2）＞0

因此t∈（0，a（a-2）），g'（t）＜0，函数g（t）单调递减；

t∈（a（a-2），+∞），g'（t）＞0，函数g（t）单调递增，

故，由a＞2，即a-1＞1，

令x=a-1＞1，由（Ⅰ）可知，不合题意．

综上可得，正实数a的取值范围是（0，2]．

（Ⅲ）证明：要证，即证，

由（Ⅱ）的结论令a=2，有对t＞0恒成立，

取可得不等式成立，

综上，不等式成立．

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题型：简答题

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简答题

求证ab+bc+cd+da≤a2+b2+c2+d2并说出等号成立的条件．

正确答案

证明：ab+bc+cd+da-（a2+b2+c2+d2）

=-[2 a2+2b2+2c2+2d2-2ab-2bc-2cd-2da]

=-[（a-b）2+（b-c）2+（c-d）2+（d-a）2]≤0，

当且仅当a=b=c=d时，等号成立．

∴ab+bc+cd+da≤a2+b2+c2+d2

解析

证明：ab+bc+cd+da-（a2+b2+c2+d2）

=-[2 a2+2b2+2c2+2d2-2ab-2bc-2cd-2da]

=-[（a-b）2+（b-c）2+（c-d）2+（d-a）2]≤0，

当且仅当a=b=c=d时，等号成立．

∴ab+bc+cd+da≤a2+b2+c2+d2

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