双曲线及其性质
共531题

双曲线及其性质
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题型：简答题

简答题 · 13 分

定义：对于两个双曲线,,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线。现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为。

（1）写出的渐近线方程（不用证明）；

（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以证明。

（3）求值：。

正确答案

见解析。

解析

（1）的渐近线方程都是：和。…………3分

（2）双曲线是共轭双曲线。…………4分

证明如下：对于，实轴和虚轴所在的直线是和的角平分线所

的直线，所以的实轴所在直线为，

虚轴所在直线为，…………6分

实轴和的交点到原点的距离的平方。

又，所以从而得；…………8分

同理对于，实轴所在直线为，

虚轴所在直线为，

实轴和的交点到原点的距离的平方

，所以，从而得。

综上所述，双曲线是共轭双曲线。…………10分

（3）由（2）易得，，

所以=1 。…………13分

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

12.已知双曲线（）的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为_________.

正确答案

解析

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知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为b2，则双曲线的离心率等于_________。

正确答案

解析

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知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

14．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，那么△的面积是（）。

正确答案

解析

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知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

12.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________

正确答案

解析

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知识点

两点间距离公式的应用双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 4 分

11．若双曲线上存在四个不同的点、、、，使四边形为菱形，则的取值范围为（）

正确答案

解析

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知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 4 分

8．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐进线方程是（）

正确答案

解析

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知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．如图，，是双曲线：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若 | | : | | : | |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

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知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后，能得到某一个函数的图象，则旋转角可以是（）

正确答案

解析

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知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

12.已知双曲线的左右焦点分别是，设是双曲线右支上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角的余弦值为，则双曲线的渐近线方程为__________．

正确答案

解析

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知识点

平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角双曲线的几何性质

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