双曲线及其性质
共531题

双曲线及其性质
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题型：填空题

填空题 · 4 分

已知点是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是___________.

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是　　。

正确答案

解析

∵双曲线的方程为

∴a2=9，b2=16，得c==5

因此，该双曲线右焦点的坐标为F（5，0）

∵双曲线的渐近线方程为y=±x

∴双曲线经过一、三象限的渐近线斜率为k=

∴经过双曲线右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是y=（x﹣5）

化为一般式，得4x﹣3y﹣20=0。

故答案为：4x﹣3y﹣20=0

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

设是以为焦点的抛物线，是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线。

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若与在第一象限内有两个公共点和，求的取值范围，并求的最大值；

（3）若的面积满足，求的值。

正确答案

见解析。

解析

解析：（1）设双曲线的标准方程为：则据题得：

又双曲线的标准方程为：

（2）将代入到中并整理得：

设则

又

当且仅当时的最大值为9

（3）直线的方程为：即

到直线的距离为：

又

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知F是双曲线：的右焦点，O是双曲线的中心，直线是双曲线的一条渐近线，以线段OF为边作正三角形MOF，若点在双曲线上，则的值为。

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率___________.

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 14 分

已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（）

正确答案

解析

设，由，得，

由解得.故选B。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 18 分

对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.

（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；

（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程；

（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得

正确答案

见解析

解析

解析：（1）∵， ………………………1分

由，得，即

可得 ………………………3分

∴的渐近线方程为 ………………………4分

（2）设，，又、，

∴直线的方程为…………①

直线的方程为…………② ……………………6分

由①②得 ………………………………8分

∵ 在双曲线上

∴ ∴ ………………………………10分

（3）证明：点的坐标为，直线的方程为，

设、的坐标分别为、 ……………………………11分

则由得，

即，

当时，

∵

∴， ………………………13分

由知，

∴ …………………………………16分

∵双曲线的伴随曲线是圆，圆上任意一点到的距离，

∴ …………………………………17分

∵

∴对任意的，在伴随曲线上总存在点，

使得………………………………18分

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率=

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 4 分

若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的标准方程是 .

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 14 分

由曲线,围成的封闭图形面积为 .

正确答案

解析

结合图形可知所求封闭图形的面积为。

知识点

双曲线的定义及标准方程

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