不等式的应用_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.已知，则（）

A

B

C

D

正确答案

C

知识点

不等式的应用

2

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设函数的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数．

26.求的解析式，并证明：当时，；

27.设，证明：当时，．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，证明见解析

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，由函数的奇偶性形成方程组求解出的解析式并用均值不等式去证明函数不等式；由的奇偶性及 ① 得 ②．

联立①②解得．当时，，故． ③又由基本不等式，有，即． ④

考查方向

本题考查了利用方程思想求解析式和证明函数不等式的方法；导数常应用在求函数的单调区间，极值、最值及恒成立问题等级的处理，最常用的方法是最值法和“分离参数法”。

解题思路

本题考查导数的应用，解题步骤如下：函数的奇偶性形成方程组求解出的解析式并用均值不等式去证明函数不等式。

易错点

对求解析式方法不熟导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析；

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，由函数的奇偶性形成方程组求解出的解析式并用均值不等式去证明函数不等式；由的奇偶性及 ① 得 ②．

联立①②解得．当时，，故． ③又由基本不等式，有，即． ④

考查方向

本题考查了利用方程思想求解析式和证明函数不等式的方法；导数常应用在求函数的单调区间，极值、最值及恒成立问题等级的处理，最常用的方法是最值法和“分离参数法”。

解题思路

本题考查导数的应用，解题步骤如下：

观察所证不等式的结构构建新函数去证明所求不等式。

易错点

未发现的关系和用到第（1）问的结论。

3

题型：简答题

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简答题 · 18 分

23．设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；

（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.

正确答案

（Ⅰ）由题意，得，

解，

得.

∴成立的所有n中的最小整数为7，

即.

（Ⅱ）由题意，得，对于正整数，

由，得.

根据的定义可知，当时，；

当时，.

∴

.

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，

由不等式及得.

∵，

根据的定义可知，

对于任意的正整数m 都有

，

即对任意的正整数m都成立.

当（或）时，

得（或），这与上述结论矛盾！

当，即时，

得，

解得.

∴ 存在p和q，使得；

p和q的取值范围分别是，.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

不等式的应用

4

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.已知函数.若当时,不等式>0恒成立,则实数m的取值范围是_________________.

正确答案

m≤-2

解析

令f(x)=(2-2-|x+2|)2,

要使f(x)=2+a有实根,

只需2+a是f(x)值域内的值.

∵f(x)的值域为[1,4),

∴1≤2+a<4,∴-1≤a<2.

知识点

函数恒成立问题不等式的应用

5

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3.已知6双袜子与3双手套的价格之和大于24元,而1双袜子与1双手套的价格之和小于5元,那么2双袜子和3双手套的价格的比较结果是（　　）.

A2双袜子的价格高

B3双手套的价格高

C价格相同

D不确定

正确答案

A

解析

设一双袜子与一双手套的价格分别为x,y元,则6x+3y>24,得2x+y>8,又x+y<5,所以2x-3y=5(2x+y)-8(x+y)>5×8-8×5=0,故2双袜子的价格高

知识点

不等式的应用

6

题型：填空题

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填空题 · 4 分

函数的定义域为___________.

正确答案

解析

略

知识点

不等式的应用

7

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数。

（1）当时，求的最小值;

（2）若函数在区间上为单调函数,求实数的取值范围;

（3）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围。

正确答案

（1）3（2）（3）

解析

（1）当时,

当时函数取最小值3。

（2）设

依题意得。

（3）当时恒成立

当时恒成立

设则

（1）当时，在单调递增

（2）当时，设

有两个根，一个根大于1，一个根小于1。

不妨设

当时即在单调递减

不满足已知条件。

综上:的取值范围为。

知识点

不等式的应用

8

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知，则的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

∵sinθ+cosθ=﹣，

∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，

∴2sinθcosθ=sin2θ=﹣；

又cos（2θ﹣）=﹣sin2θ，

∴cos（2θ﹣）=﹣（﹣）=。

故选A，

知识点

不等式的应用

9

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知集合M={x|},集合N={ x|lg(3-x)>0},则MN=

A{ x|2<X<3}

B{ x|1<X<2}

C{ x|1<X<3}

D

正确答案

B

解析

因为，，所以，故选.

知识点

不等式的应用

10

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18. 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为500元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

正确答案

（1）因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为0.05×万元，

依题意得：当时，.

当时，=

所以

（2）当时，

此时，当时，取得最大值万元.
当时，当时，

即时取得最大值1000万元.

所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元.

解析

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不等式的应用

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考查方向

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