不等式的应用_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．

已知函数.

18.是“可等域函数”，求函数的“可等域区间”；

若区间的“可等域区间”，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：（Ⅱ）

因为区间为的“可等域区间，所以

考查方向

考察函数的新信息题，具体涉及到函数的定义域，值域，图像等性质

解题思路

先确定函数的值域，利用“可等域函数”，结合函数的图象，可得函数的“可等域区间”为

易错点

对新信息理解到位易出错，对函数的综合性质应用不熟练易出现，分类与解题逻辑上的错误，数形结合应用易出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向

考察函数的新信息题，具体涉及到函数的定义域，值域，图像等性质

解题思路

利用“可等域区间”的定义，得出a>0,结合图象，利用区间与对称轴的关系及函数的单调性求出a,b

易错点

对新信息理解到位易出错，对函数的综合性质应用不熟练易出现，分类与解题逻辑上的错误，数形结合应用易出错

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.

25．若在上存在极值，求实数的取值范围；

26.求证：当时，.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

因为，由已知，所以，得.所以，，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以是函数的极大值点，又在上存在极值，所以，

即，故实数的取值范围是.

考查方向

本题主要考查利用导数的几何意义，用导数求极值，证明不等式

解题思路

第一问由切线与直线垂直得到切线斜率，再用导数的几何意义求出，通过对讨论，得到它存在极值的范围，找到的取值范围；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略；

解析

等价于.

令，则，

再令，则，

因为，所以，所以在上是增函数，

所以，所以，所以在上是增函数，

所以时，，故.

令，则，

因为，所以，所以，所以在上是减函数.

所以时，，

所以，即.

考查方向

本题主要考查利用导数的几何意义，用导数求极值，证明不等式

解题思路

第二问现将不等式等级变形，构造新函数，对新函数用导函数求最值

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

13.在直角坐标系中，已知点，设表示△所围成的平面区域（含边界），若对区域内的任意一点，不等式恒成立，其中，则以为坐标的点所形成的区域面积为 ▲ ．

正确答案

4

解析

令a=0,则by,在y恒成立，所以b,同理a,所以(a,b)为坐标的点形成的区域是边长为2的正方形，所以面积为4.

考查方向

本题考查线性规划及不等式的恒成立问题

解题思路

可令a=0 by,在y恒成立，解出b,同理解出a，进而求面积为4.

易错点

由可行域向不等式恒成立转化

知识点

不等式的性质不等式的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数．

26.若函数在x＝0处的切线也是函数图象的一条切线，求实数a的值；

27.若函数的图象恒在直线的下方，求实数a的取值范围；

28.若，且，判断与的大小关系，并说明理由．

注：题目中e＝2.71828…是自然对数的底数．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

（Ⅰ），在x＝0处切线斜率k＝，切线l：，

又，设l与相切时的切点为，则斜率，

则切线l的方程又可表示为，

由解之得a＝．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）；

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

a＝．

（Ⅱ）由题对于x＞0恒成立，即对于x＞0恒成立，

令，则，由得，

则当x＞0时，，

由，得，即实数a的取值范围是．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）＞.

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

（Ⅲ）＞．理由如下：

由题，由得，

当＜x＜a时，，单调递减，

因为，所以，即，

所以， ①

同理， ②

①＋②得，

因为，

由得，即，

所以，即，

所以＞．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设函数，曲线在点处的切线方程为.

25.求的解析式；

26.证明：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）的解析式为；

解析

试题分析：本题属于导数的综合应用，考查考生转化与化归数学思想与方法。

（Ⅰ）因为，所以，所以

又点在切线上，所以，所以

所以的解析式为.

考查方向

本题考查了函数与导数的综合应用及不等式的证明

解题思路

（1）利用导数解决曲线的切线问题，从而解出a,b的值

（2）通过构造新函数的方法找到证明不等式的突破口。

易错点

不等式证明如何构造新函数

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）对任意，.

解析

试题分析：本题属于导数的综合应用，考查考生转化与化归数学思想与方法。

（Ⅱ）令

因为所以当时，

所以在区间内单调递减，所以所以等价于.

我们如果能够证明，即即可证明目标成立.

下面证明：对任意，.

由（1）知，令

则，所以在内单调递增，

又，，所以存在使得.

当时，即，此时单调递减；

当时，即，此时单调递增；

所以.由得[

所以.

令，则

所以在区间内单调递减，所以

所以.

综上，对任意，.

考查方向

本题考查了函数与导数的综合应用及不等式的证明

解题思路

（1）利用导数解决曲线的切线问题，从而解出a,b的值

（2）通过构造新函数的方法找到证明不等式的突破口。

易错点

不等式证明如何构造新函数

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正确答案

解析

考查方向

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易错点

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易错点