数列的概念与简单表示法
共1089题

数列的概念与简单表示法
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题型：单选题

单选题 · 5 分

在等差数列中，=-2 012 ，其前n项和为，若=2，则的值等于

A-2 011

B-2 012

C-2 010

D-2 013

正确答案

解析

设公差为，则，，由，所以，所以，，选B

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知矩阵的一个特征值为3, 求的另一个特征值及其对应的一个特征向量。

正确答案

见解析

解析

解：矩阵M的特征多项式为=

因为方程的一根，所以

由,得

设对应的一个特征向量为,则,得

令,所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 10 分

设都是正数, 且=1, 求证：.

正确答案

见解析

解析

解:因为是正数，所以

同理，将上述不等式两边相乘，

得,

因为,所以

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 12 分

数列满足，（）。

（1）设，求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求.

正确答案

见解析

解析

（1）由已知可得，即，

即即（2分）

∴

累加得

又∴(6分)

（2）由（1）知，∴，

∴

（12分）

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，当时，函数取得极大值。

（1）求实数的值；

（2）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；

（3）已知正数满足求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数,都有

正确答案

见解析

解析

（1）. 由，得，此时.

当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减。

函数在处取得极大值，故.…………………………3分

（2）令，………4分

则.

函数在上可导，存在，使得.

又

当时，，单调递增，；

当时，，单调递减，；

故对任意，都有.…………………………8分

（3）用数学归纳法证明。

①当时，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

当时，结论成立.…………………………9分

②假设当时结论成立，即当时，

. 当时，设正数满足令，

则，且.

…………13分

当时，结论也成立。

综上由①②，对任意，，结论恒成立. ……………………14分

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知等比数列的前n项和为，且满足，

（1）求k的值及数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前n项和.

正确答案

见解析。

解析

（1）当时由…………2分

所以k=，…………………………………………4分

（2）由，可得……………６分

………………………………７分

……………………………9分

……………………10分

…………………………………………12分

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知数列满足：.

（1）求证：使；

（2）求的末位数字。

正确答案

见解析。

解析

（1）当

假设当

则当时，

…

其中….

所以

所以；

（2），故的末位数字是7.

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知等比数列的首项，公比，是它的前项和.求证：.

正确答案

见解析

解析

证明：由已知，得，

等价于，即（1）

（方法一）用数学归纳法证明。

①当时，左边，右边，所以（1）成立

②假设当时，（1）成立，即

那么当时，

所以当时，（1）成立

综合①②，得成立

所以.

（方法二）当时，左边，右边，所以（1）成立

当时，

所以.

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 10 分

求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量。

正确答案

见解析。

解析

矩阵M的特征多项式为=.

令得矩阵M的特征值为－1和3 。

当

所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.

当

所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有

A11种

B20种

C21种

D12种

正确答案

解析

若前一个开关只接通一个，则后一个有，此时有种，若前一个开关接通两一个，则后一个有，所以总共有，选C.

知识点

由数列的前几项求通项

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