热门试卷

本题以二项式展开与数列变换为背景，考察学生的转化和推演能力、灵活运用能力和综合创新意识。

（1）数学归纳法证明：当p=2时，左边=（1+x)2=1+2x+x2，右边=1+2x.由于，则命题成立；

当p=k(k>1,k为整数）时，若命题成立，则，由于x>-1，则1+x>0，则

即，p=k+1时命题也成立。

综合可见，当且时，；

（2）由（c>0,p为不小于2的正整数），可知，an>0.

先用数学归纳法证明。

①当n=1时，由题知，不等式成立；

②假设n=k(k是正整数）时不等式成立，则。

由于，则

由于，则，由（1）的结论可得，

，可得，.

所以，n=k+1时，不等式也成立。

综合①、②可得，对任意正整数，总有。

再由，可得。

所以，。

证法二：设，

则其导数

因此，f(x)在定义域内是增函数。则。

①当n=1时，由题知,则，

又，，可见，n=1时，不等式成立；

②假设n=k(k是正整数）时不等式成立，即，

则得，。

所以，n=k+1时，不等式也成立。

综合①、②可得，对任意正整数，总有。

（1）；

为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列；

（2）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有

，即

，其中，必有，

所以仅存在唯一一组（）使成立，

即数列为阶完备数列；

，对，，则，因为，则，所以，即

（3）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元素，由（2）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为

，。

下面用数学归纳法证明

显然时命题成立，假设当（时命题成立，即

当时，只需证

由于对称性只写出了元素正的部分，其中

既中正的部分的个元素统一为，其中

则中从，到这个元素可以用唯一表示其中，

中从（+1）到最大值这个元素可用唯一表示

其中

中正的部分个元素都存在唯一一组（）使成立，

所以当时命题成立。

即{}为阶完美数列，