数列的概念与简单表示法_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列的前项和为，且满足.()

17.求数列的通项公式；

18.设（），求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（Ⅰ）当时，

（）

当时，由得，

显然当时上式也适合，

∴

考查方向

本题主要考查已知求数列的通项公式和列项相消法求和等知识，意在考查考生的转化与化归能力和运算求解能力。

解题思路

先令利用求得到，后再求出首项，进而求出数列的通项公式；

易错点

1.不会转化题中的条件；2.不明白是什么意思，不会分奇偶讨论，导致不会求和。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）∵

∴

考查方向

本题主要考查已知求数列的通项公式和列项相消法求和等知识，意在考查考生的转化与化归能力和运算求解能力。

解题思路

由第（1）问的结果可以得到，进而利用列项相消和分组求和求和即可求得答案。

易错点

不明白是什么意思，不会分奇偶讨论，导致不会求和。

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

已知数列的各项均不为零，其前项和为，(N*)，设，数列的前项和为．

24.比较与的大小()；

25.证明：，．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由得：，

两式相减得：，

，

又，∴，

∴

，

即：；

考查方向

考查数列的通项与数列的前n项和，数列的缩放的方法与技巧

解题思路

先由通项及数列的前n项和的关系，求出通项，再求和，进而得出数列再对数列进行合理变形放缩，证出

易错点

在利用数列的前n项和与通项的关系时，易忽略对首项的验证

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

解：由（Ⅰ）知：，，

因此当时，，

则，

----------------------------------11分

又∵当时，

，

当且仅当时等号成立，

∴，

∴， ----------------

考查方向

考查数列的通项与数列的前n项和，数列的缩放的方法与技巧

解题思路

逐级对数列{}运用,进行放缩，得到,再求数列{}的前n项和，证得;利用不等式放缩得出,利用倒序累加，得，所以得证。

易错点

在构造数列放缩时，放缩不合理，导致出错

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知数列的前项和,.

17.求数列的通项公式；

18.若，求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

an=22n-1；

解析

试题分析：本题属于等差数列通项求法与求和的应用问题，题目的难度适中。（1）求解时一定要灵活应用得到；（2）在求数列前项和时，注意对分类求和即可。

（Ⅰ）由，

当时，

当时，而，

所以数列的通项公式，. ………………………6分

考查方向

本题主要考查了等差数列通项公式和求和公式的性质及应用等相关知识，意在考查考生的运算求解能力，分析问题解决问题的能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，较易。

解题思路

本题考查了等差数列的通项公式和求和公式的应用及性质，解题步骤如下：

由数列前项和公式利用得到。

对于求和，只需对进行分类求和即可。

易错点

由数列前项和公式得到时易忽视n=1而错解。第二问在求和过程中不能灵活分类求和而出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略。

解析

试题分析：本题属于等差数列通项求法与求和的应用问题，题目的难度适中。（1）求解时一定要灵活应用得到；（2）在求数列前项和时，注意对分类求和即可。

由（Ⅰ）可得

当为偶数时，

当为奇数时，为偶数，

综上， …………………………13分

考查方向

本题主要考查了等差数列通项公式和求和公式的性质及应用等相关知识，意在考查考生的运算求解能力，分析问题解决问题的能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，较易。

解题思路

本题考查了等差数列的通项公式和求和公式的应用及性质，解题步骤如下：

由数列前项和公式利用得到。

对于求和，只需对进行分类求和即可。

易错点

由数列前项和公式得到时易忽视n=1而错解。第二问在求和过程中不能灵活分类求和而出错。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17. 在等差数列中，，数列的前n项和.

（Ⅰ）求数列，的通项公式;

（Ⅱ）求数列的前n项和．

正确答案

见解析

解析

解：

经验证首项不成立

（2）当时，

验证：时成立

考查方向

主要考察了等差数列的性质及应用，考察了sn与an之间的关系，考察了裂项相消法求和

解题思路

第一步：通过等差数列的性质求出，由Sn与an的关系求出

第二步：根据bn的通项公式可知，当时，

第三步：使用裂项相消的方法得到

易错点

该题在求bn过程中忽略了首项不成立，第二问求Tn的过程中忽略从第二项起，且使用分组的形式书写答案

教师点评

该题主要考察了讨论首项的数列，解题过程中要注意利用前n项和求通项一定要验证首项。

其次，分段数列在求前n项和的时候不需要把n=1独立出来

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用裂项相消法求和

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列的前和为，且；数列是公比大于1的等比数列，且满足，.

22.分别求数列，的通项公式；

23.若，求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），；

解析

（Ⅰ）时，

时，，

又因为，所以.

设等比数列的公比为，

由已知，即，

解得，或（舍去，因为）

所以，

考查方向

本题主要考查已知数列的前n项和求通项公式、等差数列及等比数列，并项法求和，错位相减法求和等知识，意在考查考生的运算求解能力和分类讨论的思想方法.

解题思路

先利用已知数列的前n项和求通项公式求出，利用等比数列基本量求出；

易错点

1.不会利用数列的前n项和求通项公式；2.对于数列不知道该用什么方法求和或错位相减求和求错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ），

设数列的前项和为，数列的前项和为.

当为偶数时，

当为奇数时，

-

1

则 2

1-2得

所以

所以，

考查方向

本题主要考查已知数列的前n项和求通项公式、等差数列及等比数列，并项法求和，错位相减法求和等知识，意在考查考生的运算求解能力和分类讨论的思想方法.

解题思路

先由第（1）问得到，后利用分组求和和错位相减求和即可。

易错点

1.不会利用数列的前n项和求通项公式；2.对于数列不知道该用什么方法求和或错位相减求和求错。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．数列中，，前项和为，且，则数列的通项公式为．

正确答案

考查方向

本题主要考查了“已知求”类型的数列通项公式的求法

解题思路

1. 当时，求出

易错点

当时，，不知道如何化简。

知识点

由an与Sn的关系求通项an

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设数列的前项和为，是和1的等差中项．

17.求数列的通项公式；

18.求数列的前项和．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（1）由题意得：， ①

当时，，②

①-②得，即，∴．

由①式中令，可得，

∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

∴．

考查方向

等差数列的性质等差数列的通项公式

解题思路

利用Sn和an之间的关系，化简变形求得答案

易错点

正确答案

详见解析

解析

（2）由得

∴．

考查方向

数列求和

解题思路

先表示出Tn的数列表示形式，然后求得2Tn 和-Tn，两式相加，得到数列Tn的表达式

教师点评

观察猜想证明，“试试看”是解决这类问题的关键

1

题型：简答题

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单选题

某企业在一次物业管理项目的招标活动中，根据《中华人民共和国招标投标法》的要求安排了以下招标程序：①成立招标组织；②组织投标人踏勘现场，并对招标文件答疑；③签收投标文件；④编制招标文件和标底；⑤确定投标人编制投标文件所需要的合理时间；⑥发布招标公告或发出投标邀请书；⑦发售招标文件；⑧对潜在投标人进行资质审查，并将审查结果通知各潜在投标人。下列排列顺序正确的是( )。

A．①②③④⑤⑥⑦⑧
B．①④⑥⑧⑦②⑤③
C．①④⑧③②⑥⑤⑦
D．①⑧⑥④⑤②⑦③

正确答案

B

解析

暂无解析

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

19. 设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

解：（1）当时, ,,

代入并化简得,

而恒为正值,∴

∴数列是等比数列.

∴.当时,,

又，∴

（2）当时，,此时，又

∴.

故，

当时，

，

若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数, ∴必是的因数, ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立.

考查方向

本题考查了等比数列的证明及数列的通项公式求法

解题思路

利用，得数列是等比数列.

易错点

忽略n的范围的讨论。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明数列与函数的综合数列与不等式的综合

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知集合，，则＝（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

略

考查方向

集合

解题思路

集合

知识点

由an与Sn的关系求通项an

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

教师点评

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

教师点评

正确答案

解析

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

知识点