热门试卷

（1）设动点P的坐标为（x，y），依题意，得|PF|=|x+1|，

即=|x+1|，（2分）

化简得：y2=4x，

∴曲线C1的方程为y2=4x．（4分）

（2分）

∴曲线C1的方程为y2=4x．（4分）

（2）设点T的坐标为（x0，y0），圆C2的半径为r，

∵点T是抛物线C1：y2=4x上的动点，

∴y02=4x0（x0≥0）．

∴|AT|=（6分）

==．

∵a＞2，∴a-2＞0，则当x0=a-2时，|AT|取得最小值为2，（8分）

依题意得2=a-1，

两边平方得a2-6a+5=0，

解得a=5或a=1（不合题意，舍去）．（10分）

∴x0=a-2=3，y02=4x0=12，即y0=±2．

∴圆C2的圆心T的坐标为（3，±2）．

∵圆C2与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，

∴|MN|=2=4．

∴r==．（12分）

∵点T到直线l的距离d=|x0+1|=4＞，

∴直线l与圆C2相离．（14分）

（I）设P（x，y）．

由已知=(x，y+2)，=(0，4)，=(-x，2-y)，

•=4y+8.

||•||=4（3分）

∵•=||•||

∴4y+8=4整理，得x2=8y

即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x2=8y．（6分）

（II）由已知N（0，2）．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由=λ

即得（-x1，2-y1）=λ（x2，y2-2）

将（1）式两边平方并把x12=8y1，x22=8y2代入得y1=λ2y2（3分）

解（2）、（3）式得y1=2λ，y2=，

且有x1x2=-λx22=-8λy2=-16．（8分）

抛物线方程为y=x2，求导得y′=x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y=x1(x-x1)+y1，y=x2(x-x2)+y2，

即y=x1x-，y=x2x-

解出两条切线的交点Q的坐标为(，)=(，-2)（11分）

所以•=(，-4)•(x2-x1，y1-y2)

=(-)-4(-)=0

所以•为定值，其值为0．（13分）

①方程表示直线，其二次项系数必为0或可分解成两个一次因式的积的形式，故其必要条件：A=C=0，D，E不全为零； 或A•C＜0，D，E，F全为零；

②方程表示圆，其二次项系数必须相等且不为0，故其必要条件：A=C，D2+E2-4AF＞0；

③方程表示椭圆其二次项系数必须同号，故必要条件：A•C＞0， A≠C， +-F＞0；

④方程表示双曲线其二次项系数必须异号，故必要条件：A•C＜0，+-F≠0；

⑤方程表示抛物线其二次项系数必须有一个为0，另一个不为0，故必要条件：A=0且CD≠0； 或C=0且AE≠0．

（1）；（2）；（3）直线与轴相垂直

试题分析：（1）本题考查抛物线的定义，由于直线是已知抛物线的的准线，而圆心在抛物线上的圆既然与准线相切，则它必定过抛物线的焦点，所以所有的圆必过抛物线的焦点，即定点；（2）这是直线与抛物线相交问题，设如设，，则，两式相减有，则，下面就是要求或，为此，我们设直线方程为，把它与抛物线方程联立方程组，消去，就可得到关于的方程，可得，，只是里面含有，这里解题的关键就是已知条件怎样用？实际上有这个条件可得，这样与刚才的，合起来就能求出；（3）设，成等差数列即，仿照（2）此式为①，由于直线可能与轴垂直，但不会与轴垂直，设直线的方程为，代入抛物线方程消去得关于的二次方程，可得，这样①式可化为，从而得到，即直线的方程为，与轴垂直．

试题解析：(1) 由定义可得定点(1,0);（4分）

(2)设,由,得（5分）

由方程组,得

得（7分）联立上述方程求得:．（9分）

(3)（理）设直线的方程为,代入,得:,设,则（11分）

若

，即

有，即：

由此得：，，（15分）

所以当直线的方程为时，也就是成立的充要条件是直线与轴相垂直。（16分）

（1）；（2）（i）相切；（ii）为定值，且定值为0.证明过程见解析.

试题分析：（1）假设P点坐标，由，，经向量的坐标运算，易得P的轨迹方程. （2）（i）A，B，两点到准线的距离与到焦点距离相等，又是方程的准线，结合图形，易得直线与圆相切. （ii）假设过F点的直线方程AB为 与抛物线方程联立，求得A，B两点坐标.写出OA，OB所在直线方程，求出与的交点坐标，转化为向量的坐标运算，可知=0

试题解析：

解：（1）设动点的坐标为,则     1分

又，由得   2分

即亦即         3分

代入即得：动点的轨迹的方程为：    4分

（2）由（1）知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线,设直线的方程为；点的坐标分别为.

(i)设两点到准线的距离分别为,则,

设的中点到准线的距离为，          5分

则     7分

直线与以为直径的圆相切.                8分

（注：直接运算得到正确结果同样给分）

(ii)由得，          10分

的方程为，即由得点的坐标为，

同理可得点的坐标为，                     11分

于是          12分

因此为定值，且定值为0.                    13分

（1）1   （2）见解析    （3）存在，

试题分析：（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由中点坐标公式求得FA的中点，由中点在抛物线上求得p的值；

（2）联立直线方程和抛物线方程，由直线和抛物线相切求得切点坐标，进一步求得Q的坐标（用含k的代数式表示），求得PQ的中点C的坐标，求出圆心到x轴的距离，求出，由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系；

（3）法一、假设平面内存在定点M满足条件，设出M的坐标，结合（2）中求得的P，Q的坐标，求出向量 的坐标，由恒成立求解点M的坐标．

（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得．

（2）由（1）得抛物线的方程为，从而抛物线的准线方程为

由得方程，

由直线与抛物线相切，得      

且，从而，即，       

由，解得，         

∴的中点的坐标为

圆心到轴距离，

∵ 

所圆与轴总有公共点．

（3）假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，

由（2）知，

∴  。

由得，

所以，即或

所以平面上存在定点，使得圆恒过点．