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（1）x2＝4y（2）16

(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，

∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x2＝4y.

(2)由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.

记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.

由直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为，

·＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)

＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4

＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4＝4＋8.

∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．

∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.

（1）曲线C1的方程为＋＝1(－3≤x≤)，曲线C2的方程为y2＝4x(0≤x≤)

（2）2

(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝6，得a＝3．

设A(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则(x＋c)2＋y2＝()2，(x－c)2＋y2＝()2，两式相减得xc＝．由抛物线的定义可知|AF2|＝x＋c＝，

则c＝1，x＝或x＝1，c＝．又∠AF2F1为钝角，

则x＝1，c＝不合题意，舍去．当c＝1时，b＝2，

所以曲线C1的方程为＋＝1(－3≤x≤)，曲线C2的方程为y2＝4x(0≤x≤)．

(2)过点F1作直线l垂直于x轴，过点C作CC1⊥l于点C1，依题意知|CC1|＝|CF2|．

在Rt△CC1F1中，|CF1|＝|CF2|＝|CC1|，所以∠C1CF1＝45°，

所以∠CF1F2＝∠C1CF1＝45°．

在△CF1F2中，设|CF2|＝r，则|CF1|＝r，|F1F2|＝2．

由余弦定理得22＋(r)2－2×2×rcos45°＝r2，

解得r＝2，

所以△CF1F2的面积S△CF1F2＝|F1F2|·|CF1|sin45°＝×2×2sin45°＝2．

（1）|MN|不变化，其定值为2p 见解析

（2）见解析

(1)设O′(x0，y0)，则x02＝2py0(y0≥0)，

则⊙O′的半径|O′A|＝，

⊙O′的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝x02＋(y0－p)2，

令y＝0，并把x02＝2py0，代入得x2－2x0x＋x02－p2＝0，

解得x1＝x0－p，x2＝x0＋p，所以|MN|＝|x1－x2|＝2p，

这说明|MN|不变化，其定值为2p．

(2)不妨设M(x0－p,0)，N(x0＋p,0)．

由题2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x0－p|＋|x0＋p|，

所以－p≤x0≤p．

O′到抛物线准线y＝－的距离d＝y0＋＝，

⊙O′的半径|O′A|＝

＝＝．

因为r＞d⇔x04＋4p4＞(x02＋p2)2⇔x02＜p2，

又x02≤p2＜p2(p＞0)，所以r＞d，

即⊙O′与抛物线的准线总相交．

（1）；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）求出点关于直线的对称点的坐标，然后将对称点的坐标代入抛物线的方程求出的值，从而确定抛物线的方程；（2）先确定抛物线与轴的两个交点、，结合图形确定为直角三角形，并确定相应的斜边，以此求出圆心和半径，最终确定圆的方程；（3）结合图象与抛物线的定义确定点、、三点共线求出的最小值，并确定的直线方程，将直线方程与抛物线方程联立求出点的坐标.

（1）设点关于直线的对称点为坐标为，

则解得，

把点代入，解得，

所以抛物线的方程为；

（2）令得，

设抛物线与轴的两个交点从左到右分别为、，则C、，

显然是直角三角形，所以为所求圆的直径，由此可得圆心坐标为，

圆的半径，

故所求圆的方程为；

（3）是抛物线的焦点，抛物线的顶点为，

抛物线的准线为，

过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知,

，当且仅当、、三点共线时“”成立，

即当点为过点所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，取最小值，

，这时点的坐标为；

（1）；（2）或；（3）存在，且两个定点坐标为和.

试题分析：（1）将点代入抛物线的方程即可求出的值；（2）解法1是先设点、的坐标分别为、，将直线的方程与抛物线的方程联立求出、的坐标，并求出、的直线方程，与直线的方程联立求出、的坐标，利用两点间的距离公式列等式求出的值，从而求出直线的方程；解法2是设直线的方程为，点的坐标为，分别将直线的方程与抛物线和直线的方程求出点、的坐标，然后设直线的方程为，利用同样的方法求出点、的坐标，利用点、都在直线上，结合两点连线的斜率等于值以及点在直线得到、与之间的等量关系，然后再利用两点间的距离公式列等式求出的值，从而求出直线的方程；（3）解法1是求出线段的中点的坐标，然后写出以为直径的圆的方程，结合韦达定理进行化简，根据方程的结构特点求出定点的坐标；解法2是设为以为直径的圆上的一点，由得到以为直径的圆的方程，然后圆的方程的结构特点求出定点的坐标.

试题解析：（1）点在抛物线上，.

第（2）、（3）问提供以下两种解法：

解法1：（2）由（1）得抛物线的方程为.

设点、的坐标分别为、，依题意，，，

由消去得，

解得.

，，

直线的斜率，

故直线的方程为.

令，得，点的坐标为.

同理可得点的坐标为.

.

，.

由，得，

解得,或，

直线的方程为，或.

（3）设线段的中点坐标为，

则

.

而，

以线段为直径的圆的方程为.

展开得.

令，得，解得或.

以线段为直径的圆恒过两个定点、.

解法2：（2）由（1）得抛物线的方程为.

设直线的方程为，点的坐标为，

由解得

点的坐标为.

由，消去，得，

即，解得或.

，.

点的坐标为.

同理，设直线的方程为，

则点的坐标为，点的坐标为.

点、在直线上，

.

.                5分

又，得，

化简得.

，

，.

.

由，

得，

解得.

直线的方程为，或.

（3）设点是以线段为直径的圆上任意一点，

则，

得，

整理得，.

令，得，解得或.

以线段为直径的圆恒过两个定点、.

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查抛物线的定义和方程、向量的数量积、三角函数的最值等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.第一问，根据抛物线的标准方程，利用焦点坐标直接写出抛物线方程；第二问，设出，根据已知条件写出A点坐标，由于点A在抛物线上，所以将点A坐标代入到抛物线方程中，利用整理出的方程求出，同理求出，，，利用这4个边长求“蝴蝶形图案”的面积得出三角函数式，利用换元法求函数最值.

试题解析：（1）由抛物线焦点得，抛物线方程为.

（2）设，则点，

所以，，即.

解得，

同理：，，，

“蝴蝶形图案”的面积，

令，，∴，

则，∴时，即，“蝴蝶形图案”的面积为8.

（1）y=2x2；

（2）M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。所求的定点为，定直线方程为y=.

试题分析：

思路分析：（1）曲线C上任一点到定点(0，)的距离等于它到定直线的距离.所以，由抛物线的定义，其方程为，而，所以，y=2x2；

（2）利用“参数法” 得到y=4x2+4x+，根据图象的平移变换得到结论：定点为，定直线方程为y=.

解：（1）因为，利用抛物线的定义，确定得到y=2x2；

（2）设：y-2=k(x-1)(k≠0) :y=2=

由得2x2-kx+k-2=0

同理得B点坐标为

∴

消去k得：y=4x2+4x+ ………9分

M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。将抛物线方程化为，此抛物线可看成是由抛物线左移个单位，上移个单位得到的，而抛物线的焦点为(0，)，准线为y=-.∴所求的定点为，定直线方程为y=.

点评：难题，利用“直接法”可确定得到抛物线方程。利用“参数法”求得抛物线方程，通过研究焦点、准线等，达到确定“存在性”的目的。

（1）见解析（2）

(1)证明：设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1.

又·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－k2－1＋k2＋1＝0，

∴MA⊥MB.

(2)设直线MA的方程为y＝k1x－1，MB的方程为y＝k2x－1，k1k2＝－1.

解得或

∴A(k1，－1)，同理可得B(k2，－1)，

∴S1＝|MA||MB|＝|k1k2|.

又解得或

∴D，同理可得E.

∴S2＝|MD||ME|＝.

＝λ＝＝≥.故λ的取值范围是.