热门试卷

（1）因为点P到点F的距离等于它到直线l的距离，

所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，

所以方程为y2=4x；

（2）由题意，M（-1，-3），

∵直线过点（2，0），∴直线AB的方程为=，即y=x-2

与抛物线方程联立，可得x2-8x+4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，x1x2=4

∴|AB|=•=4．

略

（1）连接PF．∵点P在线段EF的垂直平分线上，

∴|PF|=|PE|．∴点P的轨迹是以F为焦点，以直线l为准线的抛物线．

∴p=2a．∴点P的轨迹为M：y2=4ax（a＞0）．

（2）直线AB的斜率为k（k≠0），点B（x1，y1），C（x2，y2），A（a，2a）．

则直线AB的方程为y-2a=k（x-a）.消去x，得ky2-4ay+4a2（2-k）=0．

△=16a2（k-1）2≥0

∵y1，2a是方程的两个根，

∴2ay1=．，∴y1=．

依题意，直线AC的斜率为-k．

同理可得y2=-．

∴y1+y2=+=-4a．

∴kBC====-1

所以直线BC的斜率为定值．

（1）y2＝4x（2）存在定点Q(1，0)，使Q在以MN为直径的圆上．

(1)由定义知l2为抛物线的准线，抛物线焦点F，由抛物线定义知抛物线上点到直线l2的距离等于其到焦点F的距离．

所以抛物线上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1的距离．

所以2＝，则p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.

(2)设M(x0，y0)，由题意知直线斜率存在，设为k，且k≠0，所以直线l方程为y－y0＝k(x－x0)，

代入y2＝4x消x得ky2－4y＋4y0－k＝0.

由Δ＝16－4k(4y0－k)＝0，得k＝.

所以直线l方程为y－y0＝ (x－x0)，

令x＝－1，又由＝4x0，得N.

设Q(x1，0)则＝(x0－x1，y0)，＝.

由题意知·＝0，即(x0－x1)(－1－x1)＋＝0，把＝4x0代入，得(1－x1)x0＋＋x1－2＝0，因为对任意的x0等式恒成立，所以

所以x1＝1，即在x轴上存在定点Q(1，0)，使Q在以MN为直径的圆上．

（Ⅰ）；（Ⅱ）

试题分析：该题考察抛物线的方程、韦达定理、直线和抛物线的位置关系、向量等基础知识，考察数形结合、综合分析和解决问题能力、基本运算能力，（Ⅰ）求直线的方程：，和抛物线联立，得

设，代入 向量式中，得，然后联立

可得∴，∴抛物线方程为；（Ⅱ）设直线的方程：，，线段的中点，将与联立，可得，因为直线与抛物线交与两点，所以，可得或，再表示中点，进而可求线段的中垂线方程，令，可得其在轴的截距，求其值域即可.

试题解析：(1)设，由已知k1＝时，l方程为

即x＝2y－4．

由得

∴

又∵

∴                                                     5分

由p＞0得∴，即抛物线方程为：．

(2)设l：，BC中点坐标为

由得：①

∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k．

∴BC的中垂线方程为y−2k2−4k＝−(x−2k)

∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2

对于方程①由△＝16k2＋64k＞0得：或．

∴                                          12分

,

20．（本小题满分14分）

(考查椭圆、抛物线、直线、定积分等知识，考查数形结合、化归转化等数学思想、以及推理论证能力和运算求解能力)

解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为.

由已知条件，得，

∴

解得 .

所以椭圆的方程为：.                  …………分

（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，

故可设直线的方程为 ，，

由   

消去并整理得，

∴  .                                  …………分

∵抛物线的方程为，求导得，

∴过抛物线上、两点的切线方程分别是

， ，

即 ，  ，

解得两条切线、的交点的坐标为，即，……分

∴

∴.                                                      …………分

（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，

设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点.

令得，，

解得或 ，                                    …………分

故不妨取，即直线过点.

综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），能使直线过点.

此时，两切线的方程分别为和.             …………分

抛物线与切线、所围成图形的面积为

 .  

（1）

（2）0

（3）证明见解析。

（1）由题意可设抛物线的方程为．

因为点在抛物线上，所以．

又点到抛物线准线的距离是，所以，可得．

所以抛物线的标准方程为．………………………………………………3分

（2）解：点为抛物线的焦点，则．

依题意可知直线不与轴垂直，所以设直线的方程为．

由  得．因为过焦点，所以判别式大于零．

设，．则， ．………………6分

．

由于，所以．

切线的方程为，         ①

切线的方程为．        ②

由①，②，得．…………………………………8分

则．

所以．………………………10分

（3）证明：．

由抛物线的定义知，．

则

．所以．

即是和的等比中项．…………………………………………………13