热门试卷

为定值．，轨迹方程为.

解：由已知得，显然直线的斜率存在。设直线的斜率为，则的方程为

，代入抛物线方程得

⑴ 若，令，此时的方程为

即或。若，方程有唯一解，此时的方程为．

综上，所求直线的方程为：或或．

⑵ 显然，记，则   

，  

①

∵ ∴ 即为定值．

②设动点，∵，       ∴ 

        ∴

令且

∴    ∴ 

综上，点的轨迹方程为.

(1)2   (2) x2=y

解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,

所以A点坐标为.

故切线MA的方程为y=-(x+1)+ .

因为点M(1-y0)在切线MA及抛物线C2上,于是

y0=-(2-)+=-,                   ①

y0=-=-.                       ②

由①②得p=2.

(2)设N(x,y),A,B,

x1≠x2,由N为线段AB中点知

x=,                                       ③

y=.                                       ④

切线MA,MB的方程为

y=(x-x1)+  ,                                 ⑤

y=(x-x2)+  .                                 ⑥

由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为

x0=,y0=.

因为点M(x0,y0)在C2上,

即=-4y0,

所以x1x2=-.                                ⑦

由③④⑦得

x2=y,x≠0.

当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.

因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.

（1）；（2）长轴长的最小值为.

试题分析：（1）首先求得抛物线方程为 .

设直线方程为，并设

利用，得到 ；

联立，可得，应用韦达定理得到 ，

从而得到，求得直线方程.

（2）可求得对称点，

代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,

椭圆设为联立直线、椭圆方程并消元整理可得，

由，可得 ，即得解.

（1）由题知抛物线方程为 。                 2分

设直线方程为，并设

因为，所以.

联立，可得，有            4分

解得：，所以直线方程为：  6分 

（2）可求得对称点，            8分

代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,

设椭圆方程为，联立直线方程和椭圆方程并消元整理得，       10分

因为椭圆与直线有交点，所以，

即：，解得        12分

即

∴长轴长的最小值为..                        13分

略

（1），，（2），（3）能.

试题分析：（1）因为D点为直线与抛物线的交点A，B中点，所以求D点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由，得，，点.因为C点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别式为零进行求解，即由,得，得.由于、的横坐标相同，垂直于轴．（2）求三角形面积，必须观察结构，合理选用底边与高.本题将CD选为底,则为高，利用（1）求出，则，（3）对题目“马上”的理解，就是进行类比，直接写出结论. 由（1）知垂直于轴，，由（2）可得、的面积只与有关，将中的换成，可得．而这一过程可无限类比下去,依次得到一列数：，，这些数构成一个公比为无穷等比数列，其和可看成直线与抛物线围成的面积，即

试题解析：（1）由，得，

点          2分

设切线方程为，由,得，，切点的横坐标为，得    4分

由于、的横坐标相同，垂直于轴．        6分

（2），．   8分

．        11分

的面积与、无关，只与有关．      12分

（本小题也可以求，切点到直线的距离，相应给分）

（3）由（1）知垂直于轴，，由（2）可得、的面积只与有关，将中的换成，可得．  14分

记，，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，此数列公比为．

（1）∵点M到点F（1，0）的距离比它到直线l：y=-2的距离小于1，

∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l′：y=-1的距离相等，

∴点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为x2=4y．

（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，

设直线m的方程为y-2=k（x-2），即y=kx+（2-2k），

代入x2=4y，得x2-4kx+8（k-1）=0，（*）

△=16（k2-2k+2）＞0对k∈R恒成立，

所以，直线m与曲线C恒有两个不同的交点，

设交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=4k，x1x2=8（k-1），

∵|AB|=

=

=4，

点O到直线m的距离d=，

∴S△ABO=|AB|•d

=4|k-1|•

=4，

∵S△ABO=4，∴4=4，

∴（k-1）4+（k-1）2-2=0，

∴（k-1）2=1，或（k-1）2=-2（舍去），∴k=0，或k=2．

当k=0时，方程（*）的解为±2，

若x1=2，x2=-2，则λ==3-2，

若x1=-2，x2=2，则λ==3+2，

当k=2时，方程（*）的解为4±2，

若x1=4+2，x2=4-2，则λ==3+2，

若x1=4-2，x2=4+2，则λ==3-2，

所以，λ=3+2，或λ=3-2．

(1) y=-1  (2) x2=4y   (3) 存在 点B的坐标为(2,1)或(-2,1)，理由见解析

(1)两圆的半径都为1,两圆的圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),

由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.

(2)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,以点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.

(3)假设存在点B满足条件.由(2)得y=x2,y'=x,所以过点B的切线的斜率为k=x1,

切线方程为y-y1=x1(x-x1).

令x=0得y=-+y1,

令y=0得x=-+x1.

因为点B在x2=4y上,所以y1=,

故y=-,x=x1,

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

S=|x||y|=|x1||-|=||,

所以||=,解得|x1|=2,

所以x1=±2.

当x1=2时,y1=1,当x1=-2时,y1=1,所以点B的坐标为(2,1)或(-2,1).