热门试卷

（1）.（2）以线段为直径的圆恒过两个定点.

试题分析：（1）根据抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线.        

可得曲线的方程为.

（2）设点的坐标分别为，依题意得，.

由消去得，

应用韦达定理.

直线的斜率，

故直线的方程为.                  

令，得，

得到点的坐标为.点的坐标为.               

得到.

设线段的中点坐标为，

而

.     

故以线段为直径的圆的方程为.

令，得，解得或.           

确定得到以线段为直径的圆恒过两个定点.

（1）由题意, 点到点的距离等于它到直线的距离,

故点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线.        

∴曲线的方程为.                                  4分

（2）设点的坐标分别为，依题意得，.

由消去得，

∴.                                    6分 

直线的斜率，

故直线的方程为.                  

令，得，

∴点的坐标为.                   

同理可得点的坐标为.               

∴

.  

∴.            8分

设线段的中点坐标为，

则

.     

∴以线段为直径的圆的方程为.

展开得.                 11分        

令，得，解得或.           

∴以线段为直径的圆恒过两个定点.            13分

假设存在这样的抛物线，顶点为（a，0），则方程为y2=4a（x-a）（a≠0），

设P（x0，y0），则y02=4a（x0-a），

|AP|2=（x0-3）2+y02=[x0-（3-2a）]2+12a-8a2，

令f（a）=|AP|2，

①a＞0时，有x0≥a，

当3-2a≥a即a∈（0，1]时，

|AP|2=f（3-2a），∴a=1或a=；

抛物线方程为y2=4（x-1）或y2=2（x-）．

当3-2a＜a即a＞1时，|AP|2=f（a）．

∴a=5或a=1（舍），

抛物线方程为y2=20（x-5）．

②当a＜0时，显然与已知矛盾，

∴所求抛物线方程为y2=4（x-1）或y2=2（x-）或y2=20（x-5）．

（1）x2－x＋y2＝4

（2）存在，(1，－2)和(1,2)

(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，

∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．

由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，

即|OP|2＋|CP|2＝9．

设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，

化简，得到x2－x＋y2＝4．

(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，

∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．

由方程组，得x2＋3x－4＝0，

解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，

故取x＝1，此时y＝±2．

故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．

（1）见解析（2）16 ，(1，±2)

(1)证明：由抛物线定义得|AH|＝|AF|，∴∠AHF＝∠AFH.

又∵四边形AHFC是平行四边形，∴HF∥AC，∴∠AHF＝∠EAD，∠AFH＝∠BAD.

综上可得∠BAD＝∠EAD.

(2)易知焦点F(1，0)，准线l方程为x＝－1，设A点坐标为 (a≠0)，

则直线AB方程为4ax－(a2－4)y－4a＝0(包括AB⊥x轴的情况)，

结合y2＝4x得4a2x2－(a4＋16)x＋4a2＝0，

根据抛物线定义，可知|AB|＝xA＋xB＋2＝＋2＝＋＋2≥4(当且仅当a＝±2时等号成立)．

另外，结合kAD＝kHF＝－，可得直线AD方程为y＝－x＋＋a，

结合y2＝4x得ay2＋8y－a3－8a＝0，由于yD＋yA＝－，

∴yD＝－－a.又∵∠BAD＝∠EAD，

∴D点到直线AB的距离即为D点到直线AE的距离，即d＝|yD－yA|＝≥8(当且仅当a＝±2时等号成立)．

∴S△ABD＝·|AB|·d≥×4×8＝16(当且仅当a＝±2时取“＝”号)．

此时A点坐标为(1，±2)．

（I）圆C的方程为

（II）的最大值为，最小值为

解法一:设A、B两点坐标分别为，由题设知

解得

所以

设圆心C的坐标为（r,0），则因此圆C的方程为

  4分

解法二：设A、B两点坐标分别为由题设知

.

又因为即

由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.

设C点的坐标为（r,0），则A点坐标为，于是有，解得r=4,所以圆C的方程为

  4分

(Ⅱ)解：设∠ECF=2a,则

.    8分

在Rt△PCE中,.由圆的几何性质得

≤≥  10分

所以≤≤，由此可得

≤≤.

故的最大值为，最小值为.  14分

解: （Ⅰ）设抛物线方程为,由题意得:

,, 所以抛物线C的方程为…4分

（Ⅱ） 解法一:抛物线焦点与的圆心重合即为E（0,1）,

设过抛物线焦点的直线方程为,,

,,得到,…………………………．2分

由抛物线的定义可知,,

．即为定值1………．．3分

（Ⅲ）,所以,

所以切线AM的方程为,切线BM的方程为,

解得即…………………………………………………………．2分

所以点M到直线AB的距离为．

设

…………………………………．．…………．2分

令,所以,,

所以在上是增函数,当,即时,,即与面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分

（Ⅱ）解法二:设过抛物线焦点的直线方程为,,不妨设．

,,得到,…………………………．2分

,,

,即为定值……………．．………．．3分

（Ⅲ）,所以,所以切线AM的方程为,

切线BM的方程为,解得即………．2分

所以点M到直线AB的距离为．

设

………………………………．2分

令,所以,,

所以在上是增函数,当,即时,,即与面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分

略

(1)｜MN｜=2p不变化  

（2）2 ， θ=45°圆的方程为(x- p)2+(y-p)2=2p2或(x+p)2+(y-p)2=2p2

(1)设圆心C(x0,y0),则x20=2py0，圆C的半径｜CA｜=，其方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x20+(y0-p)2,令y=0，并将x20=2py0，代入，得x2-2x0x+x20-p2=0，解得xm=x0-p,xN=x0+p,∴｜MN｜=｜xN-xM｜=2p(定值)

(2)∵m=｜AM｜=,n=｜AN｜=,∴m2+n2=4p2+2x20,m·n=，∴+====

=2≤2，当且仅当y0=p时等号成立，x0=±p，此时△MCN为等腰直角三角形，且∠MCN=90°，∴∠MAN=∠MCN=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x- p)2+(y-p)2=2p2或(x+p)2+(y-p)2=2p2

（Ⅰ）∵曲线C上的每一点到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x=-2的距离相等，

∴轨迹为焦点在x轴上，以F（2，0）为焦点的抛物线

标准方程为：y2=8x

（Ⅱ）方法1：联立直线y=x-2与抛物线y2=8x

得得：（x-2）2=8x

∴x2-12x+4=0，x1+x2=12，x1x2=4

（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=144-16=128

∴|AB|==16

直线和抛物线相交弦的长为16（12分）

（Ⅱ）方法2：直线y=x-2过抛物线的焦点F（2，0），AB为抛物线的焦点弦

y2=8x，p=4

联立直线y=x-2与抛物线y2=8x

得：（x-2）2=8x

x2-12x+4=0，x1+x2=12

AB为抛物线的焦点弦，根据抛物线焦点弦的弦长公式：|AB|=x1+x2+p=16

∴直线和抛物线相交弦的长为16