- 抛物线
- 共2873题
(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知抛物线的焦点为F,过点
的直线
与
相交于
、
两点,点A关于
轴的对称点为D .
(Ⅰ)证明:点F在直线BD上;
(Ⅱ)设,求
的内切圆M的方程 .
正确答案
(Ⅰ)证明见解析
(Ⅱ)
本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、对称性、圆的方程、平面向量的数量积,以及考查逻辑思维能力、运算能力、分析与解决问题的综合能力,同时考查方程的思想、数形结合的思想.
设,
,
,
的方程为
.
(Ⅰ)将代人
并整理得
,
从而
直线的方程为
,
即
令
所以点在直线
上
(Ⅱ)由①知,
因为 ,
故 ,
解得
所以的方程为
又由①知
故直线BD的斜率,
因而直线BD的方程为
因为KF为的平分线,故可设圆心
,
到
及BD的距离分别为
.
由得
,或
(舍去),
故圆M的半径.
所以圆M的方程为.
已知抛物线的焦点为
,顶点为
,准线为
,过该抛物线上异于顶点
的任意一点
作
于点
,以线段
为邻边作平行四边形
,连接直线
交
于点
,延长
交抛物线于另一点
.若
的面积为
,
的面积为
,则
的最大值为____________.
正确答案
试题分析:如图,
设,且设直线
的方程为
,代入抛物线
方程,得
,则
.因为点
既在直线
上,又在抛物线上,则
,即
①,由图易知
,
,则
,∴直线
的方程为
,令
,结合①,得
,即
,即点
,则点
到直线
的距离
.又点
到直线
的距离
.又
,
,于是
=
,则当
时,
取得最大值
.
过抛物线焦点的直线交抛物线于
两点,已知
,
为原点,
则重心的纵坐标为 。
正确答案
略
在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点F(1,0)的距离与定直线l:x=-1的距离相等.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)过点F作倾斜角为45°的直线m交轨迹E于点A,B,求△AOB的面积.
正确答案
(1)设P(x,y),
由抛物线定义知点P的轨迹E为抛物线,
其方程为:y2=4x.
(2)l:y=x-1,代入y2=4x,消去x,得y2-4y-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y 1,2=2±2
∴|y1-y2|=4
∴△AOB的面积:
×OF×| y1 -y2|
=×1×4
=2
.
动点P到直线x+2=0的距离减去它到M(1,0)的距离之差等于1,则动点P的轨迹是______.
正确答案
将直线x+2=0向右平移1个长度单位得到直线x+1=0,
则动点到直线x+1=0的距离等于它到M(1,0)的距离,
由抛物线定义知:点P的轨迹是以点M为焦点的抛物线.
答案:以点M为焦点以x=-1为准线的抛物线.
已知抛物线上有一点
到焦点
的距离为
.
(1)求及
的值.
(2)如图,设直线与抛物线交于两点
,且
,过弦
的中点
作垂直于
轴的直线与抛物线交于点
,连接
.试判断
的面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由.
正确答案
(1),
;(2)是,
.
试题分析:(1)由抛物线定义得,,求
,从而抛物线方程确定,将点
代入抛物线方程,可确定
;(2)将抛物线方程
与直线方程
联立,得
,由已知
,得关于
的等式
,由已知条件
的面积可表示为
,再结合
,可证明其值等于
.
(1)焦点,
,
.∴
,代入
,得
.
(2)联立,得
,
,即
,
,
,
,∴
,
,
,∴
的面积
.
已知点P是抛物线上一点,设P到此抛物线准线的距离是
,到直线
的距离是
,则
的最小值是
正确答案
6
试题分析:∵抛物线方程是y2=-8x
∴抛物线的焦点为F(-2,0),准线方程是x=2
P是抛物线y2=-8x上一点,过P点作PQ与准线垂直,垂足为Q,
再过P作PM与直线x+y-10=0垂直,垂足为M
则PQ=d1,PM=d2
连接PF,根据抛物线的定义可得PF=PQ=d1,所以d1+d2=PF+PM,
可得当P、F、M三点共线且与直线x+y-10=0垂直时,dl+d2最小.(即图中的F、P0、M0位置)
∴dl+d2的最小值是焦点F到直线x+y-10=0的距离,
即.
设点是抛物线
的焦点,
是抛物线
上的
个不同的点(
).
(1) 当时,试写出抛物线
上的三个定点
、
、
的坐标,从而使得
;
(2)当时,若
,
求证:;
(3) 当时,某同学对(2)的逆命题,即:
“若,则
.”
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究:
① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);
② 对任意给定的大于3的正整数,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).
【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.
正确答案
见解析
第一问利用抛物线的焦点为
,设
,
分别过作抛物线
的准线
的垂线,垂足分别为
.
由抛物线定义得到
第二问设,分别过
作抛物线
的准线
垂线,垂足分别为
.
由抛物线定义得
第三问中①取时,抛物线
的焦点为
,
设,
分别过
作抛物线
的准线
垂线,垂足分别为
.由抛物线定义得
,
则,不妨取
;
;
;
解:(1)抛物线的焦点为
,设
,
分别过作抛物线
的准线
的垂线,垂足分别为
.由抛物线定义得
因为,所以
,
故可取满足条件.
(2)设,分别过
作抛物线
的准线
垂线,垂足分别为
.
由抛物线定义得
又因为
;
所以.
(3) ①取时,抛物线
的焦点为
,
设,
分别过
作抛物线
的准线
垂线,垂足分别为
.由抛物线定义得
,
则,不妨取
;
;
;
,
则,
.
故,
,
,
是一个当
时,该逆命题的一个反例.(反例不唯一)
② 设,分别过
作
抛物线的准线
的垂线,垂足分别为
,
由及抛物线的定义得
,即
.
因为上述表达式与点的纵坐标无关,所以只要将这
点都取在
轴的上方,则它们的纵坐标都大于零,则
,
而,所以
.
(说明:本质上只需构造满足条件且的一组
个不同的点,均为反例.)
③ 补充条件1:“点的纵坐标
(
)满足
”,即:
“当时,若
,且点
的纵坐标
(
)满足
,则
”.此命题为真.事实上,设
,
分别过作抛物线
准线
的垂线,垂足分别为
,由
,
及抛物线的定义得,即
,则
,
又由,所以
,故命题为真.
补充条件2:“点与点
为偶数,
关于
轴对称”,即:
“当时,若
,且点
与点
为偶数,
关于
轴对称,则
”.此命题为真.(证略)
若圆C过点M(0,1)且与直线l:y=-1相切,设圆心C的轨迹为曲线E,A、B为曲线E上的两点,点P(0,t)(t>0),且满足=λ
(λ>1).
(I)求曲线E的方程;
(II)若t=6,直线AB的斜率为,过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线,求圆N的方程;
(III)分别过A、B作曲线E的切线,两条切线交于点Q,若点Q恰好在直线l上,求证:t与•
均为定值.
正确答案
【解】(Ⅰ)依题意,点C到定点M的距离等于到定直线l的距离,所以点C的轨迹为抛物线,曲线E的方程为x2=4y.
(Ⅱ)直线AB的方程是y=x+6,即x-2y+12=0.
由{_x2=4y,x-2y+12=0,及=λ
(λ>1)知|
|>|
|,得A(6,9)和B(-4,4)
由x2=4y得y=x2,y′=
x.
所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3.
直线NA的方程为y-9=-(x-6),即y=-
x+11.①
线段AB的中点坐标为(1,),线段AB中垂线方程为y-
=-2(x-1),即y=-2x+
.②
由①、②解得N(-,
).
于是,圆C的方程为(x+)2+(y-
)2=(-4+
)2+(4-
)2,
即(x+)2+(y-
)2=
.
(Ⅲ)设A(x1,),B(x2,
),Q(a,-1).过点A的切线方程为y-
=
(x-x1),
即x12-2ax1-4=0.同理可得x22-2ax2-4=0,所以x1+x2=2a,x1x2=-4.
又kAB==
,所以直线AB的方程为y-
=
(x-x 1),
即y=x-
,亦即y=
x+1,所以t=-1.
而=(x1-a,
+1),
=(x2-a,
+1),
所以•
=(x1-a)(x2-a)+(
+1)(
+1)
=x1x2-a(x1+x2)+a2++
+1
=-4-2a2+a2+1++1=0.
在平面直角坐标系xOy中,设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的倾斜角为120°,那么|PF|=________.
正确答案
4
抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1.因为直线AF的倾斜角为120°,所以∠AFO=60°,又tan 60°=,所以yA=2
.因为PA⊥l,所以yP=yA=2
,代入y2=4x,得xA=3,所以|PF|=|PA|=3-(-1)=4.
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