热门试卷

（1）定值为（2）

（1）将点（1，1）代入，得

抛物线方程为

设，

与抛物线方程 联立得：

由题意有，

（2）设

 同理

因此：

（Ⅰ），（Ⅱ）定值

试题分析：（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，点到其准线的距离即，解得，抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得.      

（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率不为，

则，当 时， ，则.

联立方程，消去，得 ，

解得或，，

而，直线斜率为，

，联立方程

消去，得 ，

解得：，或，

，

所以，抛物线在点处切线斜率：，

于是抛物线在点处切线的方程是：

，①

将点的坐标代入①，得 ，

因为，所以，故，

整理得，

即为定值.

点评：第一问的求解采用抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，较简单，第二问直线与抛物线相交为背景，常联立方程组转化，本题第二问计算量较大，学生在数据处理时可能出问题

(1)y＝(2)2＋2＝

(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，重心G(x，y)，

⇒y2－4y＋4m＝0，

∴Δ>0⇒m<1且m≠－1(A，B，F不共线)，

故

∴重心G的轨迹方程为y＝.

(2)若m＝－2，则y2－4y－8＝0，设AB中点为(x0，y0，)

∴y0＝＝2，∴x0＝y0－m＝2－m＝4，

那么AB的中垂线方程为x＋y－6＝0，

令△ABF的外接圆圆心为C(a,6－a)，

又|AB|＝|y1－y2|＝4，C到AB的距离为d＝，∴|CA|＝|CF|⇒(2)2＋2＝(a－1)2＋(6－a)2⇒a＝，

∴C点的坐标为，∴|CF|2＝2＋2＝，

∴所求的圆的方程为2＋2＝.

或

设两点坐标分别为、，显然∵∥，∴，即

一方面，

∴　① 。另一方面，，∴　②

将①代入②，得，即。故或

(Ⅰ)由，得，设

过点A的切线方程为：，即

同理求得过点B的切线方程为：

∵直线PA、PB过，∴,

∴点在直线上，∵直线AB过定点，

∴，即∴两条切线PA、PB的交点在定直线上.

（Ⅱ）设，设直线的方程为：，

则直线的方程为：，

，

，             ①

设弦PQ的中点，则

∵弦PQ的中点在直线上，∴，

即     ②

②代入①中，得           ③

由已知，当时，弦长|PQ|中不存在最大值.

当时，这时，此时，弦长|PQ|中存在最大值，

即当时，弦长|PQ|中的最大值为略

解（1）由题意可知，动点P到定点和它到直线x=-1的距离相等，由抛物线定义知点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，

∴=1⇒p=2，

∴轨迹方程为y2=4x．

（2）易知k=0时不符合题意，应舍去．

当k≠0时，设点M(，y1)，N(，y2)关于直线l：y=kx+3对称，MN的中点为Q（x°，y°），则=-⇒y1+y2=-4k⇒y°=-2k，

∵Q（x0，y0）在直线l上，

∴y0=kx0+3，∴x0=-．

∵点Q在抛物线的内部，∴y02＜4x0．

即(-2k)2＜4×(-)⇒＜0⇒＜0．

∵k2-k+3=(k-)2+＞0恒成立，∴＜0，

∴k（k+1）＜0，解得-1＜k＜0．

∴k的取值范围是（-1，0）．

(1) b=-1   (2) (x-2)2+(y-1)2=4

(1)由得x2-4x-4b=0　(*)

因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.解得b=-1.

(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.

解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).

因为圆A与抛物线C的准线相切,

所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,

即r=|1-(-1)|=2,

所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.