热门试卷

（1）当且仅当；（2）

(1)本题可转化为.从而确定,确定.

(2)设直线的方程为,所以可设直线AB的方程为,然后利用直线AB与抛物线有两个交点，得到m的取值范围，再根据AB的中点在直线l上，进而得到m与b的等式关系，进而确定b的取值范围.

解：（1）

依题意不同时为0

上述条件等价于

即当且仅当

（2）；

过点

.

，则

，由

于是

（1），；（2）见解析.

本试题主要是考查了抛物线的定义的运用，以及运用直线与抛物线联立方程组，求解两根的和，两根积的关系式，同时能求解抛物线上过一点的切线房产概念，利用坐标法求解解析几何的问题。

解：（1）根据抛物线定义，，解得          …………（2分）

，将代入，解得            …………（4分）

（2）带入得，

，，，        …………（5分）

设，，则，

由，所以抛物线在处的切线的方程为

，即．

令，得．                            …………（6分）

同理，得．、是方程①的两个实根，故，即，

从而有            …………（8分）

，，

方法1：∵，

∴， …………（10分）

∵，∴，即．

…………（12分）

方法2：

，

                      …………（10分）

∵，，∴

∴．               ………………..(12分)

（Ⅰ）   （Ⅱ）P点的坐标为时，⊿PAB的面积最大 

（Ⅰ）由解得或  

即，B                    ----------------2分

因此所求图形的面积为

               ------------4分

                 -------------6分

(Ⅱ)设点P的坐标为（a,b）由（Ⅰ）得，B

要使⊿PAB的面积最大即使点P到直线的距离最大  -------8分

故过点P的切线与直线平行

又过点P的切线得斜率为     -------10分

即，

∴P点的坐标为时，⊿PAB的面积最大。       --------13分

或.

试题分析：本题考查圆、直线、抛物线相交的问题，考查学生分析问题解决问题的能力.先将圆的直径求出来，再设出直线方程，方程中的中有一个参数，本题的关键是解出的值，将直线方程代入抛物线方程中，消去，求的长，再利用等差中项列出线段的关系，进而求出的长，与上面的联立就可求出.

试题解析：圆的方程为,则其直径长,圆心为,设的方程为,即,代入抛物线方程得:,设，有, 

则.

故 ,

因此.     8分

据等差，, 

所以，即,，   14分

即：方程为或.     16分

（Ⅰ）直线过定点.；（Ⅱ）满足条件的等腰三角形有且只有一个．

（1）设出直线的方程，注意讨论斜率是否存在，与抛物线联立，利用，转化为坐标运算，数量积为0，找到直线中两个参数的关系，即找到直线过定点；（2）在（1）的条件下，

把用代换，求出中点的坐标，用表示，若存在以为底边的等腰三角形，也就是，整理得关于的方程，解方程就得到满足条件的三角形及其个数.

（Ⅰ）设直线的方程为，点、的坐标分别为.

由消，得.

由，得,.

∵，∴，∴.

∴，

∴或.

∴或，∵恒成立. ∴.

∴直线的方程为 ，∴直线过定点. ………………………………（6分）

（Ⅱ）假设存在以为底边的等腰三角形，由第（Ⅰ）问可知，将用代换得

直线的方程为.设点、的坐标分别为.

由消，得.

∴  .

∵的中点坐标为，即，

∵，∴的中点坐标为.

由已知得，即． 

设，则，

在上是增函数.

又，在内有一个零点.

函数在上有且只有一个零点，即方程在上有唯一实根．

所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．……………………………………………………… （13分）