抛物线
共2873题

抛物线
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题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）

抛物线D以双曲线的焦点为焦点．

（1）求抛物线D的标准方程；

（2）过直线上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；

（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN|

正确答案

解：（1）由题意，

所以，抛物线D的标准方程为 …………3分

（2）设由

抛物线D在点A处的切线方程为…………4分

而A点处的切线过点即

同理，可见，点A，B在直线上．

令所以，直线AB过定点Q（1，1） …………6分

（3）设直线PQ的方程为

由得

由韦达定理， …………9分

而

…………12分

将代入方程（*）的左边，得

（*）的左边

因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|． …………14分

略

题型：填空题

填空题

抛物线x=2y2的焦点坐标是 .

正确答案

( 0)

略

题型：填空题

填空题

直角坐标平面上点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，则点P的轨迹方程是______．

正确答案

设直角坐标平面上动点P的坐标为（x，y）

则点P到点F（2，0）的距离为

点P到直线x+4=0的距离|x+4|

∵点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，

∴+2=|x+4|

即=|x+2|

整理得：y2=8x

故答案为：y2=8x

题型：填空题

填空题

若直线与抛物线相交于，两点，且，两点在抛物线的准线上的射影分别是，，若，则的值是．

正确答案

试题分析：设，则直线必过，

设，，则由有A为BD中点，

则，∴，则带入直线中，有，

∴.

题型：填空题

填空题

已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为。

正确答案

以二次函数为背景，理解的含义，然后结合焦点坐标得到，即=4，然后结合抛物线的通径长为，得到三角形面积。

题型：填空题

填空题

抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标．

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分1５分）

如图，设抛物线C：的焦点为F，为抛物线上的任一点（其中≠0），[

过P点的切线交轴于Q点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）Q点关于原点O的对称点为M，过M点作平行于PQ的直线

交抛物线C于A、B两点，若，求的值．

正确答案

（Ⅰ）证明：由抛物线定义知，

，

可得PQ所在直线方程为，

∵

∴得Q点坐标为(0, )

∴∴ |PF|=|QF|

（Ⅱ）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，又M点坐标为(0, y0)　

∴AB方程为 …….8分。

　由得

∴……① …….10分。

由得：，

∴ ……② …….12分。

　由①②知，得，由x0≠0可得x2≠0，

∴，又，解得：． …….1５分。

题型：简答题

简答题

在直角坐标平面内，y轴右侧的一动点P到点的距离比它到轴的距离大

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设为曲线上的一个动点，点，在轴上，若为圆的外切三角形，求面积的最小值.

正确答案

（Ⅰ）（Ⅱ）8.

试题分析：（Ⅰ）通过变换和分析可得点的轨迹是抛物线，利用定义可求其标准方程；（Ⅱ）欲求面积最小，先求面积表达式.

试题解析：（Ⅰ）由题知点到的距离与它到直线的距离相等，

所以点的轨迹是抛物线，方程为 4分

（Ⅱ）设，则即

由直线是圆的切线知即

同理∵所以是方程的两根

8分

又由题知令

则当即时，取“”

面积的最小值为 12分

题型：填空题

填空题

过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，若

线段中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为．

正确答案

设线段的中点为

同理切线的方程为：

又点为两条直线的交点，故有

从而切点弦方程为又在抛物线上，则有

两式相减可得：

将N点代入切点弦方程为故所求的

抛物线方程为.

题型：填空题

填空题

已知,抛物线的焦点,线段与抛物线的交点为,过作抛物线准线的垂线,垂足为,若,则_______.

正确答案

试题分析：由题得,点,根据抛物线的定义(抛物线上的任意一点到准线的距离与到焦点的距离之比为1,即相等)得,,又因为为直角三角形且为斜边(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),所以,即点M为线段PF的中点,坐标为,又因为点M在抛物线上,所以.故填.

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