热门试卷

解：（1）（解法一），故为的中点．

设，由点在轴的负半轴上，则 

又，      

又，       

所以，点的轨迹的方程为

（解法二），故为的中点． 设，由点在轴的负半轴上，则  -------1分

又由，故，可得  -------2分

由，则有，化简得：  -------3分

所以，点的轨迹的方程为                -------4分

（2）设的中点为，垂直于轴的直线方程为，

以为直径的圆交于两点，的中点为．

，

  -------9分

            -------11分

所以，令，则对任意满足条件的，

都有（与无关），即为定值．  -------12分

略

（1）y2＝4x（2）见解析

(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则＝1，p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.

(2)抛物线C的准线方程为x＝－1，设M(－1，y1)，N(－1，y2)，其中y1y2＝－4，直线MO的方程：y＝－y1x，将y＝－y1x与y2＝4x联立解得A点坐标.同理可得B点坐标，则直线AB的方程为：，整理得(y1＋y2)y－4x＋4＝0，故直线AB恒过定点(1，0)．

（1）M点的轨迹方程为y2=4x，（2）O，E，H三点共线

（1）设M（x,y）为轨迹上任意一点，

A（0,b）,Q(a,0)(a≥0),

则=（x,y-b），="(a-x,-y),"

∵=-，

∴（x，y-b）=-（a-x，-y），

∴，从而.

∴A，且=, =.

∵·=0，

∴·=0，即3x-y2=0,

∴y2=4x,故M点的轨迹方程为y2=4x.

(2)轨迹C的焦点为F（1，0），准线为l:x=-1,对称轴为x轴.设直线m的方程为y=k(x-1)(k≠0),

由ky2-4y-4k=0,

设G（x1,y1）,H(x2,y2),

则由根与系数的关系得，y1y2=-4,

又由已知=（-1，y1),=,

∴(-1)×y2-y1×=-y2-·y2=-y2+y2=0,

∴∥,故O，E，H三点共线.

（Ⅰ）（Ⅱ）点横坐标的取值范围为

(Ⅰ)设点，根据题意则有：

代入得：…………3分

整理得点的轨迹的方程…………………………5分

(Ⅱ)设

由题意得:的方程为(显然)

与联立消元得：…………………………7分

则有：

因为直线交轨迹于两点，则，

再由，则，故………………………8分

可求得线段中点的坐标为

所以线段的垂直平分线方程为…………………………10分

令得点横坐标为…………………………………12分

所以点横坐标的取值范围为…………14分

（1）x2＝4y   （2）见解析

(1)依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°．

设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12．

因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2．故抛物线E的方程为x2＝4y．

(2)方法一：由(1)知y＝x2，y′＝x．

设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为

y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－．

由，得．

所以Q(，－1)．

设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝ (x0≠0)的点(x0，y0)恒成立．

由于＝(x0，y0－y1)，＝(，－1－y1)，

由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋＝0，

即(＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0　(*)．

由于(*)式对满足y0＝ (x0≠0)的y0恒成立，

所以，解得y1＝1．

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．