热门试卷

（Ⅰ）x2＝2y；（Ⅱ）直线m的方程为y＝±x＋．

试题分析：（Ⅰ）根据定义法确定轨迹为抛物线，然后借助圆C被x轴截得弦长的最小值为1求解参数m的值；（Ⅱ）利用导数的几何意义求解抛物线的切线方程，然后将三角形面积进行表示，其底边用弦长公式进行表示，高用点到直线的距离进行表示，得到含有直线m的斜率k的等式.

试题解析：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为(x，y)，则其半径r＝．

依题意，r2－y2＝1，即x2＋(y－1)2－y2＝1，

整理得曲线E的方程为x2＝2y．                                   …4分

（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝，y2＝．

设直线m方程为y＝kx＋，代入曲线E方程，得

x2－2kx－1＝0，则x1＋x2＝2k．                                   …6分

对y＝x2求导，得y¢＝x．

于是过点A的切线为y＝x1(x－x1)＋，即y＝x1x－．         ①

由①同理得过点B的切线为y＝x2x－．                       ②

设C(x0，y0)，由①、②及直线m方程得

x0＝＝k，y0＝x1x0－＝－．                               8分

M为抛物线的焦点，y＝－为抛物线的准线，由抛物线的定义，得

|AB|＝y1＋＋y2＋＝k(x1＋x2)＋2＝2(k2＋1)．

点C到直线m的距离d＝＝．                   10分

所以△ABC的面积S＝|AB|·d＝(k2＋1)．

由已知(k2＋1)＝2，有且仅有k＝±1．

故直线m的方程为y＝±x＋．                                   12分

试题分析：设动圆圆心为，半径为，

则由题意可得到的距离与到直线的距离相等，              ……6分

由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的一条抛物线，其方程为．                                                 ……13分

点评：求抛物线的标准方程时，要合理利用抛物线的定义，并且要分清抛物线的对称轴和开口方向.

解：建立如图所示的坐标系，设A（-26，-6.5），抛物线方程为3分

把A点坐标代入抛物线方程得P=52，

抛物线方程为8分

当时，，

能通过。12分

略

（1）同解析（2）存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点，交点到的距离为

（1）证明：设，

则直线的方程：       

即：

因在上，所以①   

又直线方程：

由得：

所以     

同理，

所以直线的方程：   

令得

将①代入上式得，即点在直线上

所以三点共线                           

（2）解：由已知共线，所以 

以为直径的圆的方程：

由得

所以（舍去），        

要使圆与抛物线有异于的交点，则

所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点 

则，所以交点到的距离为

（Ⅰ）焦点坐标为F（0，－）

（Ⅱ）M的轨迹方程为：

（I）将P（1，－1）代入抛物线C的方程得a=－1，

∴抛物线C的方程为，即

焦点坐标为F（0，－）.……………………………………4分

（II）设直线PA的方程为，

联立方程消去y得

则

由………………7分

同理直线PB的方程为

联立方程消去y得

则

又…………………………9分

设点M的坐标为（x，y），由

又…………………………………………11分

∴所求M的轨迹方程为：