抛物线
共2873题

抛物线
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题型：填空题

填空题

已知抛物线的焦点为，准线与y轴的交点为为抛物线上的一点，且满足，则的取值范围是　　____　　．

正确答案

试题分析：由题意知，设，则，由得；显然当时，；当时，，因为所以，即，综上可知.

题型：简答题

简答题

设抛物线的准线，焦点为，顶点为，为抛物线上任意一点，，为垂足，求与的交点的轨迹方程.

正确答案

交点M的轨迹方程.

本小题属于相关点法求轨迹方程，可以引进参数t，设,然后分别求出直线的方程和直线的方程，再联立解方程组可得到动点M的参数方程，消去参数t就得到动点M的轨迹方程.

解：设抛物线上点，直线的方程为：.

又，， ∴直线的方程.它们的交点，

由方程组由①×②得：，

∴交点M的轨迹方程.

直接法也是可以做的，不同的设法也是可以解决的.

题型：填空题

填空题

过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,则=_______

正确答案

-3

略

题型：填空题

填空题

若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为

正确答案

3/2

略

题型：填空题

填空题

已知抛物线：，为坐标原点，为的焦点，是上一点. 若是等腰三角形，则 .

正确答案

或

试题分析：由抛物线方程可知，则。设点坐标为，当时，由抛物线的定义可知，则，此时点与原点重合故舍。当时，。当时，由抛物线的定义可知，所以，解得。所以。综上可得或。

题型：填空题

填空题

抛物线y2=8x的焦点坐标是

正确答案

(2,0)

略

题型：简答题

简答题

已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为．

（1）求的坐标；

（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？

正确答案

（1）焦点的坐标为

（2）

（1）抛物线方程为

故焦点的坐标为

（2）设

直线的方程是

题型：填空题

填空题

抛物线的焦点坐标为．

正确答案

略

题型：简答题

简答题

已知抛物线，点P（-1，0）是其准线与轴的焦点，过P的直线与抛物线C交于A、B两点.

（1）当线段AB的中点在直线上时，求直线的方程；

（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求△FAB的面积.

正确答案

（1）. （2）.

试题分析：（1）首先确定抛物线方程为，将直线的方程为，（依题意存在，且≠0）与抛物线方程联立，消去得应用中点坐标公式AB中点的横坐标为，进一步求得直线的斜率，从而可得直线方程.应注意直线斜率的存在性.

（2）根据中点坐标公式确定得到，再利用A、B为抛物线上点，得得到方程组求得

，，计算得到△FAB的面积 .注意结合图形分析，通过确定点的坐标，得到三角形的高线长.

试题解析：（1）因为抛物线的准线为，所以，

抛物线方程为 2分

设，直线的方程为，（依题意存在，且≠0）与抛物线方程联立，消去得（*）

， 4分

所以AB中点的横坐标为，即，所以 6分

（此时（*）式判别式大于零）

所以直线的方程为 7分

（2）因为A为线段PB中点，所以 8分

由A、B为抛物线上点，得， 10分

解得， 11分

当时，；当时， 12分

所以△FAB的面积 14分

题型：简答题

简答题

21．（本小题满分14分）

已知直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为．

(1)求抛物线的方程；

(2)证明：无论取何实数时，，都是定值；

(3)记的面积分别为，试判断是否成立，并证明你的结论．

正确答案

(1)解：由条件知在直线上，即，

所以抛物线的方程为．………………3分

(2) 由得.…………4分

则.………………5分

则，即有定值，.………………7分

(3) 根据条件有．

由抛物线的定义得，………………9分

于是，，.………11分

……………12分

，

则有．………………14分

略

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