抛物线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本题满分10分）

在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系中任给一条直线，它与抛物线交于两点，则的取值范围为________________.

正确答案

试题分析：设直线方程为代入抛物线，得，设，，则，，∴＝＝＝＝，∴的取值范围为．

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．则：(I)y1 y2= ；(Ⅱ)三角形ABF面积的最小值是．

正确答案

(I)-8;(Ⅱ).

试题分析：(I)①当斜率不存在时，过点P(2，0)的直线为，此时易知.②当斜率存在时，过点P(2，0)的直线可设为：.因为该直线与抛物线有两个交点，所以.联立方程与化简得：，由韦达定理得.综合①②知.(Ⅱ)易知焦点，①当斜率存在时,，其中是点到直线的距离.即，.在直线上，，，，，，其中，.②当斜率不存在时直线为，此时易知，，，点到直线的距离是1，，综上所述，三角形面积的最小值是.

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题型：填空题

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填空题

抛物线上的两点、到焦点的距离之和是，则线段的中点到轴的距离是．

正确答案

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试题分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离解：∵F是抛物线y2=2x的焦点F（，0）准线方程x=-设A（x1，y1） B（x2，y2）,∴|AF|+|BF|=x1++x2+=5，解得x1+x2=4,∴线段AB的中点横坐标为：2．故线段的中点到轴的距离是2.答案为：2

点评：本题考查抛物线的基本性质，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键

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题型：填空题

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填空题

抛物线上到直线距离最近的点的坐标是______ ___.

正确答案

(1,1)；

解：因为设点（x,y）,则过该点的切线的斜率为2，即

即为坐标(1,1)

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题型：简答题

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简答题

如图，直线与抛物线交于两点，与轴相交于点，且.

（1）求证：点的坐标为；

（2）求证：；

（3）求的面积的最小值.

正确答案

(1 ) 设点的坐标为, 直线方程为, 代入得

① 是此方程的两根,

∴，即点的坐标为（1, 0）.

(2 ) ∵ ∴

∴ .

（3）由方程①，, , 且 ,

于是=≥1，

∴ 当时，的面积取最小值1.

设出点M的坐标，并把过点M的方程设出来.为避免对斜率不存在的情况进行讨论，可以设其方程为,然后与抛物线方程联立消x，根据,即可建立关于的方程.求出的值.

（2）在第（1）问的基础上，证明：即可.

（3）先建立面积S关于m的函数关系式，根据建立即可，然后再考虑利用函数求最值的方法求最值.

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题型：填空题

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填空题

为过抛物线焦点的一条弦，设，以下结论正确的是____________________,

①且 ②的最小值为 ③以为直径的圆与轴相切；

正确答案

①②③

解：因为弦过焦点，因此可以设出直线方程，然后联立方程组，可以得到，因此可以得到①正确

同理利用弦长公式可以求解得到的最小值为②正确，对于③，我们利用直角梯形的性质可以得到证明也成立。

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程。

正确答案

由已知得，，

所以抛物线和方程是 ……………………3分

⑴ 当直线的斜率不存在时，

直线的方程为，直线与抛物线切于点（0，0） ……5分

⑵ 当直线斜率存在时，设直线的斜率为，直线方程为，

代入得：。 …………………………7分

① 当时，

直线的方程为，

的方程与抛物线有且只有一个公共点（-2，2） ………9分

②当时，

由△=0得，则直线的方程： …………11分

综上所述：所求直线的方程为和及。

略

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题型：简答题

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简答题

正确答案

解：设P、Q分别是抛物线和圆上的点，圆心C(3,0),半径为1，若最小，则也最小，因此C、P、Q共线，问题归结为：在抛物线上求一点 P，使它到圆心C的距离最小,为此设，则

，的最小值为所

求。

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线（）的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且,的面积为，则该抛物线的方程为 .

正确答案

解：由已知条件可知利用抛物线定义，可知抛物线的点M的横、纵坐标分别为，利用|MF|=4|OF|,可解得p=2,z因此抛物线的方程为

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