抛物线
共2873题

抛物线
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题型：填空题

填空题

过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________________________

正确答案

x2＝2y－2

略

题型：填空题

填空题

抛物线的的方程为，则抛物线的焦点坐标为________

正确答案

（，0）

略

题型：填空题

填空题

直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，由、分别向准线引垂线、，垂足分别为、，如果，，为的中点，则的值为______________.

正确答案

略

题型：填空题

填空题

抛物线x＝8y2的焦点坐标为．

正确答案

试题分析：首先把抛物线化为标准方程，由形式焦点坐标为可得.

题型：填空题

填空题

抛物线的准线方程是 ____________．

正确答案

试题分析：根据题意，由于抛物线，那么可知原式化为,焦点在y轴上，那么准线方程为y=,因此可知结论为。

的准线方程是

点评：解决该试题的关键是将方程化为标准式，然后得到2p，得到焦点的位置，进而结合性质来表示，属于基础题。

题型：填空题

填空题

有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示。为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为．（精确到）

正确答案

略

题型：简答题

简答题

求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程．

(1)过点(－3，2)；

(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．

正确答案

（1）y2＝－x或x2＝y，前者的准线方程是x＝，后者的准线方程是y＝－.（2）所求抛物线的方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.

(1)设所求抛物线的方程为y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)．

∵过点(－3，2)，∴4＝－2p(－3)或9＝2p·2.∴p＝或p＝.∴所求抛物线的方程为y2＝－x或x2＝y，前者的准线方程是x＝，后者的准线方程是y＝－.

(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的方程为y2＝16x；焦点为(0，－2)时，＝2，∴p＝4，此时抛物线的方程为x2＝－8y.∴所求抛物线的方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.

题型：填空题

填空题

抛物线y=x2上的两点A与B的横坐标恰好是关于x的方程x2+px+q=0(p、q∈R,p、q是常数)的两个实根,则直线AB的方程是_____________.

正确答案

px+3y+q=0(p2-4q>0)

设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),

则

由点差法得=(x1+x2)=-,

即kAB=-.

又x0==-,

y0=(x12+x22)=［(x1+x2)2-2x1x2］=(p2-2q),

∴M(-p,(p2-2q)).

∴AB的方程为y-(p2-2q)=-(x+p),即px+3y+q=0(p2-4q>0).

题型：填空题

填空题

直线y=x+1被抛物线y2=-2x所截得的弦的中点的坐标为____________.

正确答案

(-2,-1)

由得x2+4x+1=0.

∴x1+x2=-4.

中点横坐标为-2,代入y=x+1,得y=-1.

题型：简答题

简答题

（14分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．

（I）求与的值；

（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．

正确答案

（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义

点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得（2分）

抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得（4分）

（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为

则，当则（5分）

联立方程，整理得：

即：，解得或（6分）

，而，直线斜率为

，（7分）

联立方程

整理得：，即：．

，解得：，或

，（9分）

（10分）

而抛物线在点N处切线斜率：（11分）

MN是抛物线的切线，，

整理得（12分）

，解得（舍去），或，（14分）

略

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