抛物线
共2873题

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题型：填空题

填空题

平面上有三个点A(-2,y),B(0,),C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程是_________.

正确答案

y2=8x

=(0,)-(-2,y)=(2,-),

=(x,y)-(0,)=(x,),

∵⊥,∴·=0,

∴(2,-)·(x,)=0,即y2=8x.

∴动点C的轨迹方程为y2=8x.

题型：填空题

填空题

已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线与C相交于A、B两点，点A关于轴的对称点为D。设，则的内切圆的半径r=___________

正确答案

此题考查抛物线及其性质的应用、直线与圆锥曲线相交处理的方法、三角形内切圆的知识、考查学生的逻辑推理和运算求解能力；根据抛物线方程求得焦点坐标，设与C 的交点，所以，则，设过点的直线,代入抛物线方程，整理得,所以，所以

，所以；又因为，直线BD的斜率，所以直线；又因为点A和点D关于轴的对称，所以的平分线是，所以的内切圆的圆心在轴上，所以设圆心为，且到直线的距离相等，即，所以半径

题型：填空题

填空题

已知过抛物线C：（）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M恰好为A、F的中点，则直线的斜率_____________。

正确答案

依题意可得直线斜率存在且小于零。因为，所以设直线方程为，则。中点在抛物线上，所以，解得

题型：简答题

简答题

在抛物线上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为。

正确答案

由导数定义得f′(x)=2x，设曲线上P点的坐标为，则该点处切线的斜率为，---------(4分)

根据夹角公式有

-----------------(6分) 解得或，------------------(8分)

由，得；

由，得；-------------------(10分) 则P（-1，1）或。----------------(12分)

略

题型：简答题

简答题

（13分）如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、、、四点．

（1）求抛物线的方程．

（2）求的值．

正确答案

（1）抛物线方程为．

（2）．

解：（1）由圆的方程，即可知，圆心为，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为，抛物线方程为．

（2）

∵为已知圆的直径，∴，则．

设、，

∵，而、在抛物线上，

由已知可知，直线方程为，

由消去，得，

∴． ∴，

因此，．

题型：简答题

简答题

正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.

正确答案

|AB|=2y1=4p.

如图,设正△OAB的顶点A、B在抛物线上,且它们的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,又|OA|=|OB|,

∴x12+y12=x22+y22,即x12-x22+2px1-2px2=0.

∴(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.∵x1>1,x2>0,2p>0,∴x1=x2.由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称.

由于AB垂直于x轴,且∠AOx=30°,∴=tan30°=.

而y12=2px1,∴y1=2p.于是|AB|=2y1=4p.

题型：简答题

简答题

抛物线的顶点是双曲线16x2-9y2=144的中心,而焦点是双曲线的左顶点,求抛物线的方程.

正确答案

抛物线方程为y2=-12x.

双曲线方程化为-=1.

其中心为(0,0),左顶点为F(-3,0).

设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则=3.

∴p=6.∴所求抛物线方程为y2=-12x.

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

在直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程为y=ax2+c(a＜0)，D=（6，7）为x轴上的给定区间。

（1）为使物体落在D内，求a的取值范围；

（2）若物体运动时又经过点P（2，8.1），问它能否落在D内？并说明理由。

正确答案

解：（1）-1／4＜a＜-9／49，（2）a= -9／40，所以能。

略

题型：简答题

简答题

已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（x0，y0）

正确答案

解：由题意设过点M的切线方程为：，代入C得---------------(2分)

，_------------------------(4分)

则，--------------------------(8分)

，------------------------------（10分）

即M（－1，）．----------------------------（12分）

略

题型：填空题

填空题

抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是___________.

正确答案

略

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