抛物线
共2873题

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题型：填空题

填空题

抛物线的焦点坐标是 .

正确答案

（2，0）

略

题型：简答题

简答题

设A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线.

(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论.

(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.

正确答案

l在y轴上截距的取值范围是(,+∞).

(1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线准线的距离相等y1=y2x12=x22(x1+x2)

(x1-x2)=0,由A、B为两点,∴x1≠x2x1+x2=0.

故x1+x2=0时,直线l经过焦点F.

(2)设l:y=2x+b,

∵l⊥AB,

设AB：y=-x+m,联立y=2x2,

∴2x2+x-m=0,

设AB中点N(x0,y0),

则

由点N∈l,∴+m=-+b,

b=+m>-=.

∴l在y轴上截距的取值范围是(,+∞).

题型：填空题

填空题

经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),则的值为________________.

正确答案

-4

当x1=x2=时,y1y2=-p2,

故=-4;

当x1≠x2时,设l:y=k(x-)(k≠0),

则x=.

代入y2=2px,得y2-y-p2=0,

∴y1+y2=,y1y2=-p2.

∴x1x2=(+)(+)=.

∴=-p2÷()=-4.

题型：填空题

填空题

以x轴为准线，F(-1,-4)为焦点的抛物线方程

正确答案

顶点坐标（-1，-2），P=4,所以抛物线方程

题型：填空题

填空题

已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则

正确答案

过A,B作别作抛物线C的准线x=-2的垂线,垂足分别为M,N,则

因为,所以,所以B为AE(其中E(-2,0))的中点,

所以设因为A,B都在抛物线上,所以,所以.

题型：填空题

填空题

下列命题中,写出你认为错误的命题的所有序号___________.

①点P(5sinθ,3cosθ)的轨迹为椭圆;

②点P(cos2θ,sin2θ)的轨迹为直线;

③点P(sinθ+cosθ,sinθcosθ)的轨迹为抛物线.

正确答案

②③

①P点轨迹为椭圆=1.

②设

则x=1-2y,即x+2y=1(|x|≤1).

故P点轨迹表示线段.

③设则x2=1+2y(|x|≤).

故P点轨迹表示抛物线弧段.

因此②③错误.

题型：填空题

填空题

已知点（2，3）与抛物线的焦点的距离是5，那么P＝ .

正确答案

试题分析：抛物线的焦点为，点（2，3）到焦点的距离为，解得或(舍去）.

题型：填空题

填空题

设A、B是抛物线上的两个动点，且则AB的中点M到轴的距离的最小值为。

正确答案

试题分析：当线段AB过抛物线的焦点时，AB的中点M到轴的距离最小。因为结合抛物线的定义知，A、B两点到准线的距离之和为6，所以中点M到准线的距离为3，另抛物线化为，其准线为，则AB的中点M到轴的距离为2.

点评：要得到抛物线的焦点和准线，需将抛物线变成标准形式。另抛物线的特点：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。

题型：填空题

填空题

对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是___.

正确答案

（-∞，2]

设抛物线y2=4x上任意一点，则点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，

若a≤0，显然适合；若a＞0，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，即，即，此时．∴a的取值范围是（-∞，2]．

题型：填空题

填空题

．已知为抛物线C：上的一点，为抛物线C的焦点，其准线与轴交于点，直线与抛物线交于另一点，且，则点坐标为　　　　．

正确答案

解：因为根据抛物线的定义，可知焦点坐标为（1,0），利用|PF|=3|QF|,可知点p的横坐标为3，代入方程中得到纵坐标为

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