- 直接法求轨迹方程
- 共25题
经过点且与直线
相切的动圆的圆心轨迹为
,点
、
在轨迹
上,且关于
轴对称,过线段
(两端点除外)上的任意一点作直线
,使直线
与轨迹
在点
处的切线平行,设直线
与轨迹
交于点
、
。
(1)求轨迹的方程;
(2)证明:;
(3)若点到直线
的距离等于
,且△
的面积为20,求直线
的方程。
正确答案
见解析。
解析
(1)方法1:设动圆圆心为,依题意得,
,
整理,得,所以轨迹
的方程为
。
方法2:设动圆圆心为,依题意得点
到定点
的距离和点
到定直线
的距离相等,
根据抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线。
且其中定点为焦点,定直线
为准线。
所以动圆圆心的轨迹
的方程为
(2)由(1)得,即
,则
。
设点,由导数的几何意义知,直线
的斜率为
。
由题意知点,设点
,
,
则,
即。
因为,
,
由于,即
。
所以,
(3)方法1:由点到
的距离等于
,可知
。
不妨设点在
上方(如图),即
,直线
的方程为:
。
由
解得点的坐标为
,
所以。
由(2)知,同理可得
。
所以△的面积
,
解得,
当时,点
的坐标为
,
,
直线的方程为
,即
,
当时,点
的坐标为
,
,
直线的方程为
,即
,
方法2:由点到
的距离等于
,可知
。
由(2)知,所以
,即
。
由(2)知,
。
所以。
即, ①
由(2)知, ②
不妨设点在
上方(如图),即
,由①、②解得
因为,
同理,
以下同方法1。
知识点
已知点,点
在
轴上,点
在
轴的正半轴上,点
在直线
上,且满足
.
(1)当点在
轴上移动时,求点
的轨迹
的方程;
(2)设、
为轨迹
上两点,且
>1,
>0,
,求实数
,使
,且
正确答案
见解析。
解析
(1)设点,由
得
.
由,得
,即
.
又点在
轴的正半轴上,∴
.故点
的轨迹
的方程是
.
(2)由题意可知为抛物线
:
的焦点,且
、
为过焦点
的直线与抛物
线的两个交点,所以直线
的斜率不为
.
当直线斜率不存在时,得
,不合题意;
当直线斜率存在且不为
时,设
,代入
得
,
则,解得
.
代入原方程得,由于
,所以
,由
,
得,∴
.
知识点
已知函数。
(1)若直线恰好为曲线
的切线,求a的值;
(2)若不等式在(0,+
)上恒成立,求k的最小值;
(3)当a>0时,若函数在区间[
,1]上不单调,求a的取值范围;
正确答案
见解析。
解析
知识点
在同一直角坐标系中,方程与方程
表示的曲线可能是()
正确答案
解析
略
知识点
设为抛物线
上的两个动点,过
分别作抛物线
的切线
,与
分别交于
两点,且
,
(1)若,求点
的轨迹方程
(2)当所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论)
(3)在满足(1)的条件下,求证:的面积为一个定值,并求出这个定值
正确答案
见解析。
解析
(1)设 ,
,
即
......①
同理, ......②
令 可求出
,
所以
由①,②,得
,
∴
(2)当所在直线过
的焦点时
(3)设 又由
得
所以
∴P到MN的距离为
∴
∴为定值
知识点
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