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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,米,米. 设点在同一水平面上,从的仰角分别为.

(1) 设计中是铅垂方向. 若要求,问的长至多为多少(结果精确到米)?

(2) 施工完成后,与铅垂方向有偏差,现在实测得,求的长(结果精确到米)。

正确答案

见解析。

解析

(1)设的长为米,则,∵

,∴,∴

解得,∴的长至多为

(2)设

,解得

,∴的长为

知识点

函数的图象与图象变化
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.

(1)求B;

(2)若sin Asin C=,求C.

正确答案

见解析。

解析

(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.

由余弦定理得cos B=

因此B=120°。

(2)由(1)知A+C=60°,

所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sin Asin C=

故A-C=30°或A-C=-30°,

因此C=15°或C=45°。

知识点

函数的图象与图象变化
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2,则{an}的前10项和等于(  )。

A-6(1-3-10)

B(1-310)

C3(1-3-10)

D3(1+3-10)

正确答案

C

解析

∵3an+1+an=0,∴an+1.∴数列{an}是以为公比的等比数列,∵a2,∴a1=4.

∴S10=3(1-3-10),故选C.

知识点

函数的图象与图象变化
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.

(1)求a,b;

(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列。

正确答案

见解析。

解析

(1)解:由题设知=3,即=9,故b2=8a2.

所以C的方程为8x2-y2=8a2.

将y=2代入上式,求得.

由题设知,,解得a2=1.

所以a=1,b=.

(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.①

由题意可设l的方程为y=k(x-3),,代入①并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,x1+x2,x1·x2.

于是|AF1|=

=-(3x1+1),

|BF1|=

=3x2+1.

由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2.

,解得k2,从而x1·x2.

由于|AF2|=

=1-3x1

|BF2|=

=3x2-1,

故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.

因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列。

知识点

函数的图象与图象变化
1
题型: 单选题
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单选题 · 5       分

设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数),若曲线y=sin x上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是(  )。

A[1,e]

B[e-1-1,1]

C[1,e+1]

D[e-1-1,e+1]

正确答案

A

解析

由题意可得,y0=sin x0∈[-1,1],

而由f(x)=可知y0∈[0,1],

当a=0时,f(x)=为增函数,

∴y0∈[0,1]时,f(y0)∈[1,]。

∴f(f(y0))≥>1.

∴不存在y0∈[0,1]使f(f(y0))=y0成立,故B,D错;

当a=e+1时,f(x)=,当y0∈[0,1]时,只有y0=1时f(x)才有意义,而f(1)=0,

∴f(f(1))=f(0),显然无意义,故C错,故选A。

知识点

函数的图象与图象变化
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