用坐标表示向量的数量积
共636题

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题型：填空题

填空题

已知平面向量=（1，2），=（-3，4），若•=•，则||的最小值是______．

正确答案

设=（x，y），则由•=•可得1×（-3）+2×4=-3x+4y，

整理可得y=，故||2=x2+y2=x2+()2

=(x2+x+1)=[(x+

)2+]，

由二次函数的知识可知，当x=-时，||取最小值1，

此时y=，故=（-，），

故答案为：1

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系xOy中，已知向量=(1，2)，-=(3，1)，则•=______．

正确答案

∵=(1，2)，-=(3，1)

∴=2-2（3，1）=（-4，2）

∴•=（1，2）•（-4，2）=-4+4=0

故答案为0

题型：简答题

简答题

已知向量=（1，1），向量与向量的夹角为π，且•=-1．

（1）求向量；

（2）若向量与=（1，0）的夹角为，向量=（cosA，2cos2），其中A，C为△ABC的内角，且A+C=π，求|+|的最小值．

正确答案

（1）设=（x，y），•=-1，可得x+y=-1． ①…（2分）

又与的夹角为，所以 •=||||cos，化简可得 x2+y2=1． ②

由①②解得，或，

故=（-1，0），或=（-1，0）．…（6分）

（2）由向量与垂直知=（0，-1），由 A+C=可得 0＜A＜．…（8分）

又因为 +=（cosA，2cos2-1）=（cosA，cosC），

所以|+|2=cos2A+cos2C=+=1+[cos2A+cos（-2A）]

=1+cos2A-sin2A=1+cos（2A+）．

再由＜A+＜，可得当A+=π时，|+|取得最小值为 =．

题型：填空题

填空题

已知直线ax+by+c=0被曲线M：所截得的弦AB的长为2，O为原点，那么•的值等于______．

正确答案

依题意，知曲线M是以原点为圆心，2为半径的圆，

因为直线被圆截得的弦长为2，所以∠AOB=60°，

所以•=||||cos60°=2×2×=2．

故答案为：2．

题型：简答题

简答题

已知=(2sin，+1)=(cos-sin，1)f(x)=•+m

（1）求f（x）在[0，2π]上的单调区间

（2）当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2，求f（x）≥2成立的x的取值集合．

（3）若存在实数a，b，C，使得a[f（x）-m]+b[f（x-C）-m]=1，对任意x∈R恒成立，求cosC的值．

正确答案

（1）f(x)=•+m=2sincos-2sin2++1+m=sinx+cosx+1+m=2sin（x+）+1+m

由x∈[0，2π]，可得≤x+≤2π+．

当≤x+≤时，可得函数f（x）在 [0，]上递增，当≤x+≤时，可得函数f（x）在[，]上递减．

当≤x+≤2π+时，可得函数在[，2π]上递增．------------（2分）

（2）由于x∈[0，]，x+∈[，]，故sin(x+)min=，所以f（x）min=2+m=2 所以 m=0．--------（1分）

所以，f(x)=2sin(x+)+1，由f（x）≥2，可得2sin(x+)+1≥2sin(x+)≥，2kπ+≤x+≤2kπ+，

所以{x|2kπ-≤x≤2kπ+ k∈z}．--------（3分）

（3）∵a[f(x)-m]+b[f(x-C)-m]=a[2sin(x+)+1]+b[2sin(x+-C)+1]

=2asin(x+)+a+2bsin(x+)cosC-2bsinCcos(x+)+b，

对任意x∈R，(2a+2bcosc)sin(x+)-2bsinccos(x+)+b+a-1=0 恒成立，

故有（2a+2bcosC）=0，且2bsinC=0，且b+a-1=0．

经讨论只能有 sinC=0，cosC=-1，a=b=，所以，cosC=-1．--------（4分）

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