· 平面向量的数量积

· 用坐标表示向量的数量积

用坐标表示向量的数量积
共636题

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1

题型：填空题

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填空题

定义向量，的外积为×=||||sinθ，其中θ为与的夹角，若=（-1，2），=（1，1），则×=______．

正确答案

∵=（-1，2），=（1，1），

∴•=-1×1+2×1=1，

∴||==，||==

∴cosθ===，

故sinθ==，

故×═||||sinθ=××=3

故答案为：3

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆E：（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为，A（﹣a，0），

B（0，b），且△ABF的面积为，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若 ≤·≤，求k的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）∵离心率为，

∴a=2c，b=c．

∵△ABF的面积为，

∴，

∴c=1

∴a=2，

∴

∴椭圆E的方程为；

（Ⅱ）斜率为k的直线过点F，

设方程为y=k（x﹣1）与联立，

消元可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0

设M（，），N（x2，y2），

则+x2=，

∴y2=k2（﹣1）（x2﹣1）=

∴

=x2+2（+x2）+4+y2=

∵≤≤，

∴≤≤

∴

∴或

∴k的取值范围是．

1

题型：简答题

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简答题

已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），•=sin2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．

（1）求角C的大小；

（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且sinB•=18，求c边的长．

正确答案

（1）由于 •=sinA•cosB+sinB•cosA=sin(A+B)，…（2分）

对于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC，∴•=sinC．…（3分）

又∵•=sin2C，∴sin2C=sinC，cosC=，C=．…（6分）

（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，

由正弦定理得2c=a+b．…（8分）∵•=18，即abcosC=18，ab=36．…（10分）

由余弦弦定理c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，…（11分）

∴c2=4c2-3×36，c2=36，∴c=6．…（12分）

1

题型：简答题

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简答题

.（1）设向量，满足||=||=1及|3-2|=，求|3+|的值．

（2）在数列{an}中，已知a1=1，=+，（n∈N+），求a50．．

正确答案

（1）由题意可得 9

a

2-12 +4

b

2=9-12+4=7，∴=．

|3+|===．

（2）∵a1=1，=+，∴{}是以1为首项，以为公差的等差数列，

∴=1+（n-1）=，∴an=，∴a50 =．

1

题型：填空题

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填空题

关于平面向量，，．有下列三个命题：

①若•=•，则=；

②若=(1，k)，=(-2，6)，∥，则k=-3；

③非零向量和满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°．

其中真命题的序号为______．（写出所有真命题的序号）

正确答案

①不正确，当=时，由•=•，可得和为任意向量．

②正确，若=(1，k)，=(-2，b)，∥，则有 1×6-（-2）k=0，即 k=-3．

③正确，如图，在△ABC中，设=，=，=-，由||=||=|-|，可知△ABC为等边三角形．

由平行四边形法则作出向量+=，此时与+的夹角为30°．

故答案为 ②③．

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