用坐标表示向量的数量积
共636题

· 用坐标表示向量的数量积

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题型：简答题

简答题

如图，在△ABC中，已知A（，0），B（，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为H，且，

（Ⅰ）求点H的轨迹方程；

（Ⅱ）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在F，H之间），且满足，求λ的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ）设点H的坐标为（x，y），C点坐标为（x，m），则D（x，0），

∴，

∴m=2y，

故C点为（x，2y），

∵，

∴，x2+2y2=2，

故点H的轨迹方程为（y≠0）；

（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y=kx+2，

代入椭圆方程，得，

由Δ＞0得，

设G（x1，y1），H（x2，y2），

则，

又∵，

∴（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2），

∴x1=λx2，

∴x1+x2=（1+λ）x2，，

∴，

整理得，

，

∴，

∴，解得，

时，，

∴，

又∵0＜λ＜1，

∴；

又当直线GH斜率不存在，方程为x=0，，

∴。

题型：简答题

简答题

已知，，．

（1）若，记﹣=，求的值；

（2）若，≠k（k∈Z），且∥，求证：．

正确答案

解（1）∵=，

∴

∴=

（2）∵，∥，

∴cossin﹣（1+cos）sin=0

又∵，≠k（k∈Z），

∴

题型：简答题

简答题

以原点为圆心的两个同心圆的方程分别为x2+y2=4和x2+y2=1，过原点O的射线交大圆于点P，交小圆于点Q，作PM⊥x轴于M，若，

（Ⅰ）求点N的轨迹方程；

（Ⅱ）过点A（-3，0）的直线l与（Ⅰ）中点N的轨迹交于E，F两点，设B（1，0），求的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ）设P（2cosα，2sinα），Q（cosα，sinα），

由知N在PM上，

由知QN⊥PM，

∴N（2cosα，sinα），即，

∴。

（Ⅱ）联立方程，

，

y1y2=k2[x1·x2+3（x1+x2）+9]，

=x1·x2-（x1+x2）+1+y1y2

，

由，

∴∈（-3，6）。

题型：简答题

简答题

已知向量=（cosx，2），=（sinx，﹣3）．

（1）当∥时，求3cos2x﹣sin2x的值；

（2）求函数f（x）=（﹣）在x∈[﹣，0]上的值域．

正确答案

解：（1）∵ ∥ 时， ∴﹣3cosx=2sinx，

∴tanx=﹣ ． 3cos2x﹣sin2x= = =．

（2）f（x）=（ ﹣ ）·

=cos2x﹣sinxcosx+10

= ﹣ sin2x+10

= cos + ．

∵x∈ ．

∴﹣ ≤2x+ ≤ ，

∴﹣ ≤ cos ≤ ，

∴10≤ cos + ≤ ，

即f（x）的值域为．

题型：简答题

简答题

向量=（4，2），b=（2，x）。

（1）与b垂直，求x；

（2）与b平行，求x。

正确答案

解：（1）x=-4；

（2）x=1。

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